Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Sprache und Semantische Netze/Softwarenutzung

Tabellenkalkulation

Modellierungszyklus 1

sammeln Daten

Daten Gedichte Modellierungszyklus 1

• benötigt, um Daten zu den Gedichten zu sammeln
• systematische Darstellung Daten

Berechnung arithmetisches Mittel aus Daten

Berechnung arithmetisches Mittel

• zur Berechnung des Durchschnittspunktes einer Epoche
• Verwendung Trainingsgedichte
• Bsp.: =(C7+D7+E7+F7+G7)/5

-> Summe aus Daten zu einem Merkmal dividiert durch die Anzahl der Merkmale

• bei größerer Anzahl von Daten auch möglich mit =MITTELWERT(C7:G7)

Zuordnung Testgedichte

• Festhalten Ergebnisse
• automatische Zuordnung der Gedichte zu einer Epoche
• automatische Ausgabe, ob Zuordnung korrekt ist

Zuordnung Testgedichte 1

Ausgabe Zuordnung Epoche

• automatische Zuordnung der Gedichte zu einer Epoche
• Bsp.:

=WENN(UND(C4<D4;C4<E4);

"Renaissance";WENN(UND(D4<C4;D4<E4)

;"Romantik";"Moderne"))

Zuordnung Testgedichte 2

• Wenn-Abfrage:

-> wenn der Abstand zur Renaissance kleiner als zu den anderen ist, Ausgabe "Renaissance"

-> wenn dies nicht der Fall ist prüfe, ob der Abstand zur Romantik am kleinsten ist, dann Ausgabe "Romantik"

-> ansonsten Ausgabe "Moderne"

• UND: beide Bedingungen müssen wahr sein, damit die Aussage wahr ist

Zuordnung der Testgedichte 3

Ausgabe Korrektheit Zuordnung

• automatische Ausgabe, ob Zuordnung korrekt ist
• Bsp.: =WENN(F4="Renaissance";"ja";"nein")

-> Wenn-Abfrage

-> falls in der Zuordnung der Name der richtigen Epoche steht, Ausgabe "ja", wenn nicht "nein"

Modellierungszyklus 2

sammeln Daten

Daten Zyklus 2 in Tabellenkalkulation

• benötigt, um Daten zu den Gedichten zu sammeln
• systematische Darstellung Daten

Darstellung/ Berechnung Gradientenabstiegsverfahren

• Verbesserung der Variablen
• Veränderung Schrittweite
• Berechnung Schritt
• Berechnung Vektorlänge Gradient
• Bestimmung der Optimierung
• Eingabe: Werte partieller Ableitungen, Funktionswert E, Funktionswert E_neu aus WxMaxima

Verbesserung der Variablen 1

Gradientenabstiegsverfahren: Variablen

• Berechnung der Veränderung der Variablenwerte durch Addition Schritt zu Variablenwert
• Bsp.: =WENN($AE3<$AD3;A3+T3;A3) (in A4)

Verbesserung der Variablen 2

• Wenn-Abfrage:

-> wenn der Funktionswert von E_neu (AE3) kleiner als der Funktionswert E (AD3) ist, dann wird Schritt (T3) zu Variablenwert addiert, ansonsten bleibt sie gleich

-> hier gemischte Adressierung ($AE3) -> Spaltenbezug bleibt erhalten

-> auch mit relativer Adressierung (AE3) möglich -> wurde nur nach "unten gezogen" (Spalte bleibt sowieso gleich)

Veränderung Schrittweite

Gradientenabstiegsverfahren: partielle Ableitungen, Schrittweite

• Bsp.: =WENN(AE3>AD3;S3/2;S3) (in S4)
• Wenn-Abfrage:

-> wenn Funktionswert E_neu (AE3) größer als Funktionswert E (AD3) ist, dann wird Schrittweite (S3) halbiert, ansonsten bleibt sie gleich

Berechnung Schritt 1

Gradientenabstiegsverfahren: Schritte, Vektorlänge

• Berechnung des Schritts der zu einer Variable hinzugefügt werden soll, wenn Funktionswert E_neu kleiner als Funktionswert E ist

Berechnung Schritt 2

• Bsp.: =-J3*S3/AC3 (in T3)

-> Multiplikation negativer Wert der partiellen Ableitung (-J3) mit der Schrittweite (S3) dividiert durch die Vektorlänge des Gradienten (AC3)

-> negativer Gradient: Richtung des steilsten Abstiegs

-> Division durch Vektorlänge: Normierung des Gradienten auf Länge 1 (ansonsten länger/ kürzer als gewünschte Länge)

-> Multiplikation mit Schrittweite: Schritt in Richtung negativer Gradient erhält genau die gewünschte Länge

Berechnung Vektorlänge Gradient

Gradientenabstiegsverfahren: Schritte, Vektorlänge

• Berechnung durch euklidische Norm des Vektors
• zur Normierung auf Länge 1 benötigt
• Bsp.: =WURZEL(J3^2+K3^2+L3^2+M3^2+N3^2+O3^2+P3^2+Q3^2+R3^2) (in AC3)

-> Berechnung der Wurzel aus der Summe aller Werte der partiellen Ableitungen (J3 bis R3) im Quadrat

Bestimmung der Optimierung 1

Gradientenabstiegsverfahren Optimierung

• Bestimmung, ob Iterationsschritt eine Optimierung erzielt hat

Bestimmung der Optimierung 2

• Bsp.: =AD3-AE3 (in AF3)

-> Subtraktion des Funktionswerts E_neu (AE3) vom Funktionswert E (AD3)

-> positives Ergebnis: Optimierung

Eingaben verschiedener Werte

• Eingabe: Werte partieller Ableitungen, Funktionswerte E und E_neu
• berechnet in WxMaxima
• benötigt, um Iterationsschritte auszuführen

Zuordnung Testgedichte

• Festhalten Ergebnisse
• automatische Zuordnung der Gedichte zu einer Epoche
• automatische Ausgabe, ob Zuordnung korrekt ist

Zuordnung Testgedichte 1

• automatische Zuordnung der Gedichte zu einer Epoche
• Bsp.:

=WENN(UND(C4>D4;C4>E4);"Renaissance";

WENN(UND(D4>C4;D4>E4);"Romantik";"Moderne"))

Zuordnung Testgedichte 2

• Wenn-Abfrage:

-> wenn der Prozentzahl Renaissance größer als zu den anderen ist, Ausgabe "Renaissance"

-> wenn dies nicht der Fall ist prüfe, ob der Prozentzahl Romantik am größten ist, dann Ausgabe "Romantik"

-> ansonsten Ausgabe "Moderne"

• UND: beide Bedingungen müssen wahr sein, damit die Aussage wahr ist

Zuordnung der Testgedichte 3

• automatische Ausgabe, ob Zuordnung korrekt ist
• Bsp.: =WENN(F4="Renaissance";"ja";"nein")

-> Wenn-Abfrage

-> falls in der Zuordnung der Name der richtigen Epoche steht, Ausgabe "ja", wenn nicht "nein"

GeoGebra

Modellierungszyklus 1

Darstellung Trainings-/ Testpunkte

Darstellung alle Trainings- und Testgedichte GeoGebra

• Veranschaulichung der Merkmale, die in Punkte umgewandelt wurden
• Veranschaulichung der späteren Berechnungen
• Grundlage Kontrolle der Abstandsberechnungen in GeoGebra
• Eingabe Punkte Bsp.: Eliot=(100, 0, 131)

Darstellung der Kugeln

Darstellung alle Kugeln GeoGebra

• Veranschaulichung der berechneten Kugelgleichungen
• Eingabe: k_(Renaissance):(x-98.58)^2+(y-1.42)^2+(z-17)^2=10.2^2

Kontrolle Berechnungen der Abstände Punkte

Abstand Punkte Drayton Moderne GeoGebra

• Abstandsberechnung zwischen 2 Punkten mit Werkzeug Strecke
• Abstände zwischen Punkt-Kreismittelpunkt (Testgedichte, Radiusbestimmung)
• verwendet zur Kontrolle der Berechnungen

Kontrolle der Länge der Raumdiagonale im Quader

Abstand Punkte Renaissance Donne im Quader GeoGebra

• Kontrolle der berechneten Länge der Raumdiagonale im Quader
• Werkzeug: Strecke

Erzeugen Anschauungsmaterial

• Visualisieren der benötigten Rechnungen
• Quader im Raum (Abstandsberechnungen)
• Satz des Pythagoras in Ebene (Abstandsberechnungen)

Anschauungsmaterial Quadermodell

Quader um die Punkte Renaissance und Donne (GeoGebra)

• Werkzeug: Punktwerkzeug (Punkt erstellen) bzw. Eingabe von Punkten
• Werkzeug: Strecke (Verbinden von Punkten)
• Werkzeug: Winkel

Anschauungsmaterial Satz des Pythagoras

Abbildung des Satz des Pythagoras zur Bestimmung des Abstandes der Punkte Renaissance und Donne (GeoGebra)

• Werkzeug: Punktwerkzeug (Punkte Erstellen) bzw. Eingabe Punkte
• Werkzeug: Strecke (Verbinden von Punkten)
• Werkzeug: Winkel

WxMaxima

Modellierungszyklus 2

Berechnung Funktionswerte zur Funktion f

Code Funktion f WxMaxima

• Eingabe Funktion f zur Berechnung der prozentualen Zuordnung der Gedichte
• Zuweisung Funktion mit :=
• Möglichkeit Eingabe Variablen x,y,z für ein Gedicht (Zuweisung mit :)
• Berechnung Funktionswert f(x,y,z) durch f(x,y,z)

Berechnung des Fehlers einzelner Gedichte

Berechnung einzelner Fehler Funktion E WxMaxima

• Eingabe Fehlerfunktion
• Möglichkeit der Eingabe der Werte der Kugelmittelpunkte (a,...,i), Werte einzelnes Gedicht (x,y,z), Zuordnungswerte einzelnes Gedicht (r,s,t)
• Berechnung Funktionswert E durch E(a,b,c,d,e,f,g,h,i,x,y,z,r,s,t): Fehler

Berechnungen zum Gradientenabstiegsverfahren

• partielle Ableitungen Fehlerfunktion E bestimmen
• Werte partieller Ableitungen bestimmen
• Funktionswert E und E_neu bestimmen

Bestimmen partieller Ableitungen

partielle Ableitung von E nach a_1 in WxMaxima

• partielle Ableitungen Fehlerfunktion E
• Eingabe Fehlerfunktion E
• Bsp. Befehl: diff(E(a,b,c,d,e,f,g,h,i),a,1) (partielle Ableitung 1. Grades nach a)

Bestimmen Wert der partiellen Ableitungen für alle Gedichte 1

Berechnung des Wert des Gradienten WxMaxima (3)

• Eingabe partielle Ableitung nach a als Funktion A
• alle Zahlenwerte können durch Eingabe in die Variablen a,b,c,d,e,f,g,h,i,x,y,z,r,s,t verändert werden

Bestimmen Wert der partiellen Ableitungen für alle Gedichte 2

Berechnung Wert partielle Ableitung A WxMaxima

• Eingabe der Werte der Variablen

-> a bis i: im Gradientenabstiegsverfahren berechnete Kugelmittelpunkte

-> x,y,z: Koordinaten Punkt Gedicht

-> r,s,t: Werte perfekte Zuordnung Gedicht

• Berechnung des Funktionswertes A (= Wert partielle Ableitung eines Gedichts)
• bilden der Summe der Werte der partiellen Ableitungen aller Trainingsgedichte (= Wert partielle Ableitung A)

Bestimmen des Funktionswerts von E 1

Berechnung Funktionswert E in WxMaxima: Eingabe Werte Trainingsgedicht, Funktionswert, Summe

• wie vorher:

-> Eingabe Werte Kreismittelpunkte a bis i

-> Eingabe Werte einzelner Gedichte x,y,z

-> Eingabe perfekter Zuordnungswerte einzelner Gedichte r,s,t

Bestimmen des Funktionswerts von E 2

• neu: Bilden der Summe aller Testgedichte, um Gesamtfehler zu erhalten

Bestimmen des Funktionswerts von E_neu

Berechnung Funktionswert E_neu in WxMaxima: Funktionsgleichung

• Eingabe Werte Variablen wie bei Funktionswert von E
• zusätzlich: Eingabe der Werte der Schritte für die einzelnen Variablen a bis i
• Berechnung Funktionswert für einzelne Gedichte
• Bilden der Summe für Gesamtfehler

Berechnung Funktionswerte zur verbesserten Funktion f

• Eingabe Funktion f zur Berechnung der prozentualen Zuordnung der Gedichte
• Zuweisung Funktion mit :=
• Möglichkeit Eingabe Variablen x,y,z für ein Gedicht (Zuweisung mit :)
• Berechnung Funktionswert f(x,y,z) durch f(x,y,z)

Berechnung des verbesserten Fehlers einzelner Gedichte

• Eingabe Fehlerfunktion
• Möglichkeit der Eingabe der Werte der Kugelmittelpunkte (a,...,i), Werte einzelnes Gedicht (x,y,z), Zuordnungswerte einzelnes Gedicht (r,s,t)
• Berechnung Funktionswert E durch E(a,b,c,d,e,f,g,h,i,x,y,z,r,s,t): Fehler

Bestimmen der neuen Zuordnung der Trainings- und Testgedichte

• durch bestimmen des Funktionswertes von verbesserter Funktion f

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