Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Torverteilung Fußball
Torverteilung Fußball
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Bei einem Fußballspiel werden von den verschiedensten Positionen auf dem Spielfeld Tore erzielt. Kann man hierbei Regelmäßigkeiten oder Muster bei einzelnen Teams feststellen? Gibt es hierbei Analogien zwischen leistungsstärkeren und leistungsschwächeren Mannschaften? Lassen sich hieraus taktische Handlungsanweisungen folgern? Lassen sich die Muster auch für die Defensive verwerten? Wie verhält sich die Torverteilung über die Spielzeit gesehen? Lassen sich aus der Kombination der Teilaspekte Vorhersagen treffen?
Modellierungsproblem
BearbeitenFolgende Inhalte werden innerhalb dieses Portfolios bearbeitet:
- Mit realen Daten werden Heat Maps und Shot Charts auf Grundlage der Torverteilung einer Fußballmannschaft über die Zeitspanne einer Saison erstellt.
- Es werden Muster und Regelmäßigkeiten gesucht, um taktische Anweisungen, Anpassungen und Verbesserungen geben zu können
- Durch den Vergleich von defensiven und offensiven Daten sollen Voraussagen für die Folgesaison getroffen werden können
Softwarenutzung
BearbeitenEs handelt sich um ein räumliches und statistisches Modellierungsproblem, mit dem man eine Torverteilung vorhersagen kann. Daher werden statistische Werkzeugen und geometrische Werkzeuge für die Mathematische Modellbildung verwendet.
Fachwisssenschaftliche Grundlagen
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| Spieltag | Gegner | Minute | Position | Spieler | Elfmeter |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 (H) | Bayer Leverkusen (3:1) | 9 | G2 | Süle | |
| 1 (H) | Bayer Leverkusen (3:1) | 18 | G1 | Tolisso | |
| 1 (H) | Bayer Leverkusen (3:1) | 53 | F3 | Lewandowski | x |
| 2 (A) | Werder Bremen (0:2) | 72 | G2 | Lewandowski | |
| 2 (A) | Werder Bremen (0:2) | 75 | E4 | Lewandowski | |
| 4 (H) | Mainz 05 (4:0) | 11 | G3 | Müller | |
| 4 (H) | Mainz 05 (4:0) | 23 | H2 | Robben | |
| 4 (H) | Mainz 05 (4:0) | 50 | F2 | Lewandowski | |
| 4 (H) | Mainz 05 (4:0) | 70 | E2 | Lewandowski | |
| 5 (A) | Schalke 04 (0:3) | 26 | F3 | Lewandowski | x |
| 5 (A) | Schalke 04 (0:3) | 29 | G4 | James | |
| 5 (A) | Schalke 04 (0:3) | 75 | F2 | Vidal | x |
| 6 (H) | VFL Wolfsburg (2:2) | 33 | F3 | Lewandowski | x |
| 6 (H) | VFL Wolfsburg (2:2) | 42 | E4 | Robben | |
| 7 (A) | Hertha BSC (2:2) | 10 | F3 | Hummels | |
| 7 (A) | Hertha BSC (2:2) | 49 | G2 | Lewandowski | |
| 8 (H) | SC Freiburg (5:0) | 8 | E1 | Eigentor | |
| 8 (H) | SC Freiburg (5:0) | 42 | F3 | Coman | |
| 8 (H) | SC Freiburg (5:0) | 63 | F5 | Thiago | |
| 8 (H) | SC Freiburg (5:0) | 75 | H3 | Lewandwoski | |
| 8 (H) | SC Freiburg (5:0) | 90+3 | G2 | Kimmich | |
| 9 (A) | Hamburger SV (0:1) | 52 | G2 | Tolisso | |
| 10 (H) | RB Leipzig (2:0) | 19 | G3 | James | |
| 10 (H) | RB Leipzig (2:0) | 38 | G4 | Lewandwoski | |
| 11 (A) | Borussia Dortmund (1:3) | 17 | G4 | Robben | |
| 11 (A) | Borussia Dortmund (1:3) | 37 | G2 | Lewandowski | |
| 11 (A) | Borussia Dortmund (1:3) | 67 | B5 | Alaba | |
| 12 (H) | FC Augsburg (3:0) | 31 | G2 | Vidal | |
| 12 (H) | FC Augsburg (3:0) | 28 | G3 | Lewandowski | |
| 12 (H) | FC Augsburg (3:0) | 49 | E2 | Lewandowski | |
| 13 (A) | M´Gladbach (2:1) | 74 | E5 | Vidal | |
| 14 (H) | Hannover 96 (3:1) | 17 | E2 | Vidal | |
| 14 (H) | Hannover 96 (3:1) | 67 | E2 | Coman | |
| 14 (H) | Hannover 96 (3:1) | 87 | F3 | Lewandoswki | x |
| 15 (A) | Eintracht Frankfurt (0:1) | 20 | E1 | Vidal | |
| 16 (H) | FC Köln (1:0) | 60 | F1 | Lewandowski | |
| 17 (A) | VFB Stuttgart (0:1) | 79 | D3 | Müller | |
| 18 (A) | Bayer Leverkusen (1:3) | 32 | E1 | Martinez | |
| 18 (A) | Bayer Leverkusen (1:3) | 59 | D3 | Ribery | |
| 18 (A) | Bayer Leverkusen (1:3) | 90+1 | F4 | James | |
| 19 (H) | Werder Bremen (4:2) | 41 | E2 | Müller | |
| 19 (H) | Werder Bremen (4:2) | 63 | E2 | Lewandowski | |
| 19 (H) | Werder Bremen (4:2) | 76 | F3 | Lewandowski | |
| 19 (H) | Werder Bremen (4:2) | 84 | F2 | Müller | |
| 20 (H) | TSG Hoffenheim (5:2) | 20 | F1 | Lewandowski | |
| 20 (H) | TSG Hoffenheim (5:2) | 25 | F1 | Boateng | |
| 20 (H) | TSG Hoffenheim (5:2) | 63 | D2 | Coman | |
| 20 (H) | TSG Hoffenheim (5:2) | 66 | E1 | Vidal | |
| 20 (H) | TSG Hoffenheim (5:2) | 90 | F1 | Wagner | |
| 21 (A) | Mainz 05 (0:2) | 33 | E4 | Ribery | |
| 21 (A) | Mainz 05 (0:2) | 44 | G2 | James | |
| 22 (H) | Schalke 04 (2:1) | 6 | F2 | Lewandowski | |
| 22 (H) | Schalke 04 (2:1) | 36 | G1 | Müller | |
| 23 (A) | VFL Wolfsburg (1:2) | 64 | F2 | Wagner | |
| 23 (A) | VFL Wolfsburg (1:2) | 90+1 | F3 | Lewandowski | x |
| 25 (A) | SC Freiburg (0:4) | 25 | G1 | Eigentor | |
| 25 (A) | SC Freiburg (0:4) | 28 | G6 | Tolisso | |
| 25 (A) | SC Freiburg (0:4) | 54 | F1 | Wagner | |
| 25 (A) | SC Freiburg (0:4) | 69 | G2 | Müller | |
| 26 (H) | Hamburger SV (6:0) | 8 | F2 | Ribery | |
| 26 (H) | Hamburger SV (6:0) | 12 | F1 | Lewandowski | |
| 26 (H) | Hamburger SV (6:0) | 19 | F3 | Lewandowski | |
| 26 (H) | Hamburger SV (6:0) | 55 | E4 | Robben | |
| 26 (H) | Hamburger SV (6:0) | 81 | E2 | Ribery | |
| 26 (H) | Hamburger SV (6:0) | 90 | F3 | Lewandowski | x |
| 27 (A) | RB Leipzig (2:1) | 12 | F2 | Wagner | |
| 28 (H) | Borussia Dortmund (6:0) | 5 | G3 | Lewandowski | |
| 28 (H) | Borussia Dortmund (6:0) | 14 | F2 | James | |
| 28 (H) | Borussia Dortmund (6:0) | 23 | F2 | Müller | |
| 28 (H) | Borussia Dortmund (6:0) | 44 | F1 | Lewandowski | |
| 28 (H) | Borussia Dortmund (6:0) | 45+1 | E2 | Ribery | |
| 28 (H) | Borussia Dortmund (6:0) | 87 | F1 | Lewandowski | |
| 29 (A) | FC Augsburg (1:4) | 32 | F2 | Tolisso | |
| 29 (A) | FC Augsburg (1:4) | 38 | E2 | James | |
| 29 (A) | FC Augsburg (1:4) | 62 | H3 | Robben | |
| 29 (A) | FC Augsburg (1:4) | 87 | F2 | Wagner | |
| 30 (H) | M´Gladbach (5:1) | 37 | F1 | Wagner | |
| 30 (H) | M´Gladbach (5:1) | 41 | F2 | Wagner | |
| 30 (H) | M´Gladbach (5:1) | 51 | F2 | Thiago | |
| 30 (H) | M´Gladbach (5:1) | 67 | D4 | Alaba | |
| 30 (H) | M´Gladbach (5:1) | 82 | E2 | Lewandowski | |
| 31 (A) | Hannover 96 (0:3) | 57 | F3 | Müller | |
| 31 (A) | Hannover 96 (0:3) | 73 | F3 | Lewandowski | |
| 31 (A) | Hannover 96 (0:3) | 89 | F3 | Rudy | |
| 32 (H) | Eintracht Frankfurt (4:1) | 43 | F2 | Dorsch | |
| 32 (H) | Eintracht Frankfurt (4:1) | 76 | E2 | Wagner | |
| 32 (H) | Eintracht Frankfurt (4:1) | 87 | H3 | Rafinha | |
| 32 (H) | Eintracht Frankfurt (4:1) | 90 | G3 | Süle | |
| 33 (A) | FC Köln (1:3) | 59 | F1 | James | |
| 33 (A) | FC Köln (1:3) | 61 | F2 | Lewandowski | |
| 33 (A) | FC Köln (1:3) | 78 | F2 | Tolisso | |
| 34 (H) | VFB Stuttgart (1:4) | 21 | F3 | Tolisso |
Fachmathematischen Werkzeuge
Bearbeiten- Sek I:
- Tabellenkalkulation ([1] - frei Zugang zu Lernresourcen)
- Funktionsgraphen
- Sek II:
- Tabellenkalkulation
- Funktionsgraphen
- Stochastik, schätzen von Wahrscheinlichkeiten
- Arbeiten mit elektronischen Medien (Excel)
- Uni:
- Wahrscheinlichkeit
- Vektorfelder
- Excel
- Maxima
- R (Verarbeitung von Wahrscheinlichkeiten und Vektoren)
Zuordnung des Modellierungsthemas zu den Nachhaltigkeitszielen (Sustainable Development Goals)
BearbeitenAuch der Sport hat einen Entwicklungsauftrag zur Nachhaltigkeit. Durch die Förderung von Werten wie beispielsweise Fairplay, Respekt, Gleichstellung und Toleranz wird ein Beitrag zur Stärkung der jungen Menschen, Frauen, "[...]des Einzelnen und der Gemeinschaft und zu den Zielen der Gesundheit, der Bildung und der sozialen Inklusion [...]" [2] geleistet.
Im Allgemeinen lassen sich folgende Nachhaltigkeitsziele der UN mit dem Sport- übergreifend für Fußball und andere Sportarten- verknüpfen.
Rohdaten
BearbeitenMit Hilfe eines Datencenters der Süddeutschen Zeitung werden die benötigten Daten gewonnen. Hierbei werden die einzelne Spiele betrachtet und eine Heat Map erstellt. Diese ordnet den Standpunkt des Torschützen eine eindeutigen Position innerhalb eines Spielfeldrasters zuß. Weiterhin wird die Spielminute des Torerfolgs notiert.
Folgende Daten wurden somit ermittelt:
FC Bayern München
BearbeitenSaison 2016/2017
| Spieltag | Mannschaft | Ergebnis | Entfernung zum Tor | Spielminute |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Werder Bremen | 6:0 | 30m; 10m; 6m; 9m; 12m; 11m | 9', 13', 46', 66', 73', 77' |
| 2 | Schalke 04 | 2:0 | 15m; 14m | 81', 90+2' |
| 3 | Ingolstadt | 3:1 | 15m; 27m; 25m | 12', 50', 84' |
| 4 | Berlin | 3:0 | 7m; 16m; 16m | 16', 68', 72' |
| 5 | Hamburger SV | 1:0 | 4m | 88' |
| 6 | Köln | 1:1 | 3m | 40' |
| 7 | Eintracht Frankfurt | 2:2 | 7m; 7m | 10', 62' |
| 8 | Gladbach | 2:0 | 6m; 13m | 16', 31' |
| 9 | Augsburg | 3:1 | 9m; 5m; 7m | 19', 21', 48' |
| 10 | TSG Hoffenheim | 1:1 | 8m | 34' |
| 11 | Dortmund | 0:1 | - | - |
| 12 | Leverkusen | 2:1 | 4m; 10m | 30', 56' |
| 13 | Mainz 05 | 3:1 | 12m; 12m; 25m | 8', 21', 90+2' |
| 14 | VFL Wolfsburg | 5:0 | 23m; 5m; 9m; 10m; 15m | 18', 22', 58', 76', 86' |
| 15 | Darmstadt | 1:0 | 37m | 71' |
| 16 | RB Leipzig | 3:0 | 4m; 13m; 12m | 17', 25', 45' |
| 17 | SC Freiburg | 2:1 | 9m; 12m | 35', 90+1' |
| 18 | Werder Bremen | 2:1 | 16m; 27m | 30', 45+1' |
| 19 | Schalke 04 | 1:1 | 8m | 9' |
| 20 | Ingolstadt | 2:0 | 5m; 14m | 90', 90+1' |
| 21 | Berlin | 1:1 | 4m; 13m; 6m | 90+6' |
| 22 | Hamburger SV | 8:0 | 22m; 11m; 8m; 17m; 6m; 8m; 15m; 8m | 17', 24', 42', 54', 56', 65', 69', 87' |
| 23 | Köln | 3:0 | 5m; 13m; 12m | 25', 48', 90' |
| 24 | Eintracht Frankfurt | 3:0 | 3m; 7m; 10m | 38', 41', 55' |
| 25 | Gladbach | 1:0 | 6m | 63' |
| 26 | Augsburg | 6:0 | 10m; 4m; 11m; 3m; 3m; 6m | 17', 36', 55', 62', 79', 81' |
| 27 | TSG Hoffenheim | 0:1 | - | - |
| 28 | Borussia Dortmund | 4:1 | 15m; 26m; 18m; 11m | 4', 10', 49', 68' |
| 29 | Bayer Leverkusen | 0:0 | - | - |
| 30 | Mainz 05 | 2:2 | 8m; 23m | 16', 73' |
| 31 | VFL Wolfsburg | 6:0 | 25m; 16m; 7m; 27m; 12m; 7m | 19', 36', 45', 66', 80', 85' |
| 32 | Darmstadt | 1:0 | 8m | 18' |
| 33 | RB Leipzig | 5:4 | 12m; 4m; 5m; 26m; 10m | 17', 60', 84', 90+1', 90+4' |
| 34 | SC Freiburg | 4:1 | 18m; 21m; 4m; 2m | 4', 73', 90+1', 90+4' |
Saison 2015/2016
| Spieltag | Mannschaft | Ergebnis | Entfernung zum Tor | Spielminute |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Hamburger SV | 5:0 | 11m; 11m; 9m; 10m; 24m | 27', 53', 69', 73', 87' |
| 2 | 1899 Hoffenheim | 2:1 | 5m; 8m | 41', 90' |
| 3 | Bayer Leverkusen | 3:0 | 5m; 11m; 11m | 26', 60', 71' |
| 4 | FC Augsburg | 2:1 | 4m; 11m | 77', 90' |
| 5 | Darmstadt 98 | 3:0 | 27m; 14m; 1m | 20', 62', 63' |
| 6 | VfL Wolfsburg | 5:1 | 9m; 22m; 11m; 9m; 15m | 51', 52', 55', 57', 60' |
| 7 | Mainz 05 | 3:0 | 9,m; 11m; 5m; | 51', 63', 68' |
| 8 | Borussia Dortmund | 5:0 | 13m; 11m; 1m; 10m; 12m | 26', 35', 46', 58', 66' |
| 9 | Werder Bremen | 1:0 | 7m | 23' |
| 10 | FC Köln | 4:0 | 5m; 13m; 6m; 11m | 35', 40', 62', 77' |
| 11 | Eintracht Frankfurt | 0:0 | - | - |
| 12 | VfB Stuttgart | 4:0 | 5m; 15m; 3m; 1m | 11', 18', 37', 40' |
| 13 | Schalke 04 | 3:1 | 7m; 6m; 13m | 9', 69', 90+2' |
| 14 | Hertha BSC | 2:0 | 1m; 6m | 34', 41' |
| 15 | Mönchengladbach | 1:3 | 6m | 81' |
| 16 | FC Ingolstadt | 2:0 | 14m; 15m | 65', 75' |
| 17 | Hannover 96 | 1:0 | 11m | 42' |
| 18 | Hamburger SV | 2:1 | 11m; 10m | 37', 63' |
| 19 | 1899 Hoffenheim | 2:0 | 3m; 6m | 32', 64' |
| 20 | Bayer Leverkusen | 0:0 | - | - |
| 21 | FC Augsburg | 3:1 | 15m; 13m; 6m | 15', 62', 78' |
| 22 | Darmstadt 98 | 3:1 | 6m; 9m; 3m | 49', 71', 84' |
| 23 | VfL Wolfsburg | 2:0 | 12m; 8m | 66', 74' |
| 24 | Mainz 05 | 1:2 | 31m | 64' |
| 25 | Borussia Dortmund | 0:0 | - | - |
| 26 | Werder Bremen | 5:0 | 7m; 4m; 4m; 14,9m; 4m | 9', 31', 35', 86', 90' |
| 27 | FC Köln | 1:0 | 16m | 10' |
| 28 | Eintracht Frankfurt | 1:0 | 16m | 20' |
| 29 | VfB Stuttgart | 3:1 | 8m; 24m | 52', 89' |
| 30 | Schalke 04 | 3:0 | 8m; 6m; 6m | 54', 65', 73' |
| 31 | Hertha BSC | 2:0 | 21m; 30m | 48', 79' |
| 32 | Mönchengladbach | 1:1 | 12m | 6' |
| 33 | FC Ingolstadt | 2:1 | 11m; 7m | 15', 32' |
| 34 | Hannover 96 | 3:1 | 13m; 6m; 17m | 12', 28', 54' |
Modellierungszyklus
BearbeitenIm ersten Zyklus sollen zunächst die Daten gesammelt und getrennt betrachtet werden. Das Niveau basiert auf Sek I bzw. Sek II Stufe, da hier die Wahrscheinlichkeiten für den Torerfolg in der Abhängigkeit von der Spielzeit bzw. von der Entfernung noch separat dargestellt werden.
- Sekundar I Niveau
Im zweiten Zyklus werden die beiden Faktoren dann gemeinsam betrachtet, sodass wir uns nun auf Uni Niveau befinden.
Zyklus 1
BearbeitenIm ersten Zyklus sind die Daten "Torerfolg Spielminute" und "Torentfernung" gesammelt worden. Diese sollen in einem Diagramm verarbeitet werden. Es handelt sich um eine Zuordnung von Spielminute (X-Achse) --> Anzahl der Tore (Y-Achse). Um die Übersicht zu wahren, wird die zeitliche Verteilung in Intervallen zusammengefasst. Ein Intervall besteht aus jeweils 5 Spielminuten (1-4.59, 5-9,59 usw.). Die Nachspielzeit wird als eigenes Intervall behandelt. In einem zweiten Graph soll dargestellt werden, wie oft aus einer bestimmten Entfernung fällt. Hier ist die Zuordnung Entfernung --> Anzahl der Tore.
Sekundarstufe I
Bearbeiten- Modellierungszyklus 1
Im ersten Zyklus werden die Rohdaten in einem Balkendiagramm festgehalten. Dabei geht es nur um eine absolute Zuordnung der Daten. 1. Zuordnung: Zeit -> Anzahl der Tore 2. Zuordnung: Entfernung -> Anzahl der Tore
- Modellierungszyklus 2
- Zuordnungen (Zeitpunkt -> Anzahl und Entfernung -> Anzahl)
- Sek II Niveau
- Auswertung Wahrscheinlichkeiten
- Erwartungswert
- Varianz
- Uni Niveau
Zuordnungen
BearbeitenFSV Mainz 05
Saison 2015/2016 und 2016/17
| Entfernung in Meter | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
| Anzahl Tore | 0 | 4 | 1 | 7 | 5 | 6 | 6 | 2 | 3 | 2 | 6 | 10 | 6 | 2 | 8 | 2 | 2 | 3 | 2 | 3 | 1 | 5 | 1 | 0 | 0 | 0 | 2 | 0 | 0 | 2 |
| Spielminute | 1-5 | 6-10 | 11-15 | 16-20 | 21-25 | 26-30 | 31-35 | 36-40 | 41-45 | 45+ | 46-50 | 51-55 | 56-60 | 61-65 | 66-70 | 71-75 | 76-80 | 81-85 | 86-90 | 90+ |
| Anzahl Tore | 4 | 4 | 6 | 5 | 7 | 7 | 5 | 4 | 6 | 1 | 3 | 4 | 3 | 4 | 4 | 3 | 9 | 3 | 4 | 7 |
Bayern München
Saison 2015/2016 und 2016/2017
| Entfernung in Meter | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 37 |
| Anzahl Tore | 3 | 1 | 6 | 11 | 9 | 16 | 11 | 11 | 9 | 9 | 16 | 11 | 9 | 4 | 9 | 6 | 2 | 2 | 0 | 0 | 2 | 2 | 2 | 0 | 3 | 2 | 3 | 1 | 0 | 1 | 3 |
| Spielminute | 1-5 | 6-10 | 11-15 | 16-20 | 21-25 | 26-30 | 31-35 | 36-40 | 41-45 | 45+ | 46-50 | 51-55 | 56-60 | 61-65 | 66-70 | 71-75 | 76-80 | 81-85 | 86-90 | 90+ |
| Anzahl Tore | 2 | 8 | 5 | 14 | 9 | 6 | 7 | 9 | 8 | 1 | 8 | 10 | 7 | 14 | 12 | 10 | 9 | 7 | 8 | 13 |
Zyklus 2
BearbeitenLiteratur
Bearbeiten- ↑ Krengel, U. (1988). Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (Vol. 8). Braunschweig: Vieweg.
- ↑ http://www.un.org/depts/german/gv-70/a70-l1.pdf, 27.11.