Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Verdünnung von Chemikalien im Rhein/Zyklus 3

Zyklus 3

Einleitung

• Im ersten Zyklus ist ausschließlich auf die Verteilung der Chemikalie $NaOH$ in einem stillen Gewässer eingegangen worden. Dadurch hat man einen ersten Eindruck erhalten, wie sich $NaOH$ in Wasser ausbreitet und verdünnt.
• Im zweiten Zyklus ist sowohl die Diffusion der Chemikalie als auch die Fließgeschwindigkeit des Rheins berücksichtigt worden. Wobei dabei von einer laminaren Strömung des Flusses ausgegangen worden ist. Dabei ist zu erkennen gewesen, dass sich das Chemikalienpaket hauptsächlich mit der Fließgeschwindigkeit des Wassers fortbewegt und die Diffusion kaum Einfluss auf die Verteilung des Stoffes nimmt.
• Da die Strömung des Rheins jedoch durch dessen natürlichen Verlauf, seine Beschaffenheit und den Schiffsverkehr nicht ausschließlich laminar ist treten an manchen Stellen auch immer wieder turbulente Strömungen auf. Diese verwirbeln das Wasser und beeinflussen somit auch die Chemikalie. Im folgenden dritten Zyklus sollen auch diese Turbulenzen berücksichtigt werden. Dabei stellt sich die Frage, in wie weit diese die Ausbreitung und den Verlauf des Chemikalienpaketes beeinflussen.

Ziel

• Die Funktion aus dem zweiten Zyklus soll dahingehend erweitert werden, dass die turbulenten Einflüsse zusätzlich zur laminaren Strömung des Flusses berücksichtigt und simuliert werden können. Dies soll mit Hilfe eines gewichteten Mittelwerts berechnet werden.
• Welchen Einfluss haben solche Turbulenzen auf die Chemikalie $NaOH$ und welche Folgen hat dies für die Umwelt?

Verwendete Daten

• Gezählte Schiffe auf dem Rhein innerhalb einer Stunde: 5 (d.h. im 12 min. Tackt passieren die Schiffe den Rhein)
• Die Dauer, der durch ein Schiff entstandenen Turbulenzen im Wasser variiert stark. Zur Einfachheit wird für die Dauer von einer turbulenten in eine laminare Strömung eine Zeit von 3 min. angenommen.

-> D.h. in einer Stunde treten ca. für 15 min. Turbulenzen auf.

Turbulenzfaktor

• Der maximale Wert, denn der Turbulenzfaktor $K$ annehmen kann liegt bei $K=2$.

Gewichtung der Funktion

Funktionsgraphen der laminaren und turbulenten Strömung und die gewichtete Mittelwertsfunktion

Dabei verwenden wir folgende Funktionen:

• Laminare Strömung: $f(x,t):={\frac {m}{a\cdot {\sqrt {pi\cdot 4\cdot D\cdot t}}}}\cdot e^{\frac {-(x-2.4\cdot t)^{2}}{(4\cdot D\cdot t)}}$
• Turbulente Strömung: $g(x,t):={\frac {m}{a\cdot {\sqrt {pi\cdot 4\cdot (D+K)\cdot t}}}}\cdot e^{\frac {-(x-2.4\cdot t)^{2}}{(4\cdot (D+K)\cdot t)}}$

Da der Turbulenzfaktor $K>>D$ kann der Diffusionskoeffizient in der turbulenten Strömungsphase vernachlässigt werden.

Es folgt für die turbulente Strömung : $f(x):={\frac {m}{a\cdot {\sqrt {pi\cdot 4\cdot K\cdot t}}}}\cdot e^{\frac {-(x-2.4\cdot t)^{2}}{(4\cdot K\cdot t)}}$

Wir gewichten die Funktionen wie folgt:

• Laminare Strömung mit ${\frac {2700s}{3600s}}$ -> ${\frac {3}{4}}$
• Turbulente Strömung mit ${\frac {900s}{3600s}}$ -> ${\frac {1}{4}}$

Fazit

• Der pH-Wert des höchsten Pieks vermindert sich durch die Turbulenzen, jedoch sind mehr Orte wie zuvor ohne Turbulenz betroffen
• Der pH- Wert des höchsten Pieks ist immer noch sehr hoch, sodass die Chemikalie immer noch umweltschädlich ist

Weitere Ideen

• In Zyklus 3 wurde nicht beachtet, das dies eine Chemikalie ist, welche sich mit Wasser neutralisiert. Man könnte sagen, das ab einer gewissen Konzentration sich die Chemikalie an diesem Ort komplett neutralisiert.
• Es gibt noch weitere Turbulenzen durch Brücken, Fische, "Steinbänke", etc., so könnte man die Gewichtung des Turbulenzfaktors erhöhen.
• Nicht an jeder Stelle hat der Rhein die gleiche Fließgeschwindigkeit, so könnte man diese auch variieren lassen.
• Unser Problem beschäftigt sich in Richtung einer Risikoabschätzung! Man könnte sich auch weiter damit beschäftigen die Chemikalie mithilfe einer Neutralisationschemikalie HCL zu behandeln. Dabei soll der Ort, die Menge sowie die Zeit optimal Abgeschätzt werden, sodass die beiden Chemikalien den geringsten pH-Wert erreichen.