Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Volumenschätzung und Verbrauch von Ressourcen/Mathematische Lernvoraussetzungen Sek II

Mathematische Lernvoraussetzungen - Niveau Sekundarstufe II

Bearbeiten

Funktionen

Bearbeiten
  • Zuordnung zwischen einer Definitionsmenge   und einer (Ziel-) Menge  , die jedem Element x aus   genau ein Element y aus   zuordnet:
     

Wellenfunktion

Bearbeiten
  • beschreibt die Auslenkung eines von der Welle erfassten Teilchens in y-Richtung an einem beliebigen Ort x zu einem beliebigen Zeitpunkt t
  • beschreibbar mithilfe der Sinus- oder Kosinus-Funktion
  • 2π-periodische Wellenfunktion:  
  • abflachender/dämpfender Faktor:  
  • Daraus folgt als annähernde Wellenfunktion:  

Abschätzen von Funktionen

Bearbeiten
  • Abschätzungen von Funktionen mithilfe oberer Grenzen und Näherungsfaktoren


  • unbestimmtes Integral
    • F ist eine Funktion, deren erste Ableitung die ursprüngliche Funktion f ist
    • F heißt Stammfunktion von f
  • bei Addition und Subraktion einer beliebigen Zahl zu F, erhält man eine weitere Stammfunktion
  • bestimmtes Integral ergibt eine Zahl: entspricht der Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse


 
Integral einer Funktion
  • Sei   eine reelwertige stetige Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall  :

für alle   ist die Integralfunktion   mit   differenzierbar und eine Stammfunktion von  

für alle   gilt:  


  • Sei   eine stetige Funktion mit Stammfunktion  

Berechnung Integral in den Integrationsgrenzen a und b:

 .

Rotationsvolumen

Bearbeiten
Rotation einer Sinuskurve
Bearbeiten
 
Rotation einer Sinuskurve
Rotation um die x-Achse
Bearbeiten
  • durch Drehung einer Kurve um die x-Achse ensteht ein Rotationskörper mit Volumen V
  • Volumen berechnet sich im Intervall   folgendermaßen:  
Rotation um die y-Achse
Bearbeiten
  • durch Drehung einer Kurve um die y-Achse ensteht ein Rotationskörper mit Volumen V
  • Volumen berechnet sich mithilfe der Umkehrfunktion   mit   stetig und monoton im Intervall   folgendermaßen:   mit  und   Grenzen des Wertebereichs mit   oder: