Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Volumenschätzung und Verbrauch von Ressourcen/Mathematische Lernvoraussetzungen Uni

Mathematische Lernvoraussetzungen - Niveau Uni

Funktionen

• Zuordnung zwischen einer Definitionsmenge $\mathbb {D}$ und einer (Ziel-) Menge $\mathbb {M}$, die jedem Element x aus $\mathbb {D}$ genau ein Element y aus $\mathbb {M}$ zuordnet:
  $f:\mathbb {D} \to \mathbb {M} ,x\longmapsto y$

Wellenfunktion

• beschreibt die Auslenkung eines von der Welle erfassten Teilchens in y-Richtung an einem beliebigen Ort x zu einem beliebigen Zeitpunkt t
• beschreibbar mithilfe der Sinus- oder Kosinus-Funktion

• 2π-periodische Wellenfunktion: $f(x)={\frac {a}{2}}\cdot cos({\frac {x}{2\cdot a}})$

• abflachender/dämpfender Faktor: $e^{-({\frac {x}{2a}})^{2}}$
• abflachender Faktor wird bei späterer Funktion weggelassen, da Faktor $a$ sehr groß wird und dadurch der Nenner des abflachenden Faktors sehr langsam abnimmt
• Betrachtung des Integrals am Ursprung der Funktion

Abschätzen von Funktionen

• Abschätzungen von Funktionen mithilfe oberer Grenzen und Näherungsfaktoren

Integralrechnung

• unbestimmtes Integral
  • F ist eine Funktion, deren erste Ableitung die ursprüngliche Funktion f ist
  • F heißt Stammfunktion von f
• bei Addition und Subraktion einer beliebigen Zahl zu F, erhält man eine weitere Stammfunktion
• bestimmtes Integral ergibt eine Zahl: entspricht der Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse

Integral einer Funktion

Hauptsatz der Differential und Integralrechnung

• Sei $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ eine reelwertige stetige Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall $[a,b]\subset \mathbb {R}$:

für alle $x_{0}\in [a,b]$ ist die Integralfunktion $F\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ mit $F(x)=\int _{x_{0}}^{x}f(t)\,{\rm {d}}t$ differenzierbar und eine Stammfunktion von $f$

für alle $x\in [a,b]$ gilt: $F^{\prime }(x)=f(x)$

• Sei $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion mit Stammfunktion $F\colon [a,b]\to \mathbb {R}$

Berechnung Integral in den Integrationsgrenzen a und b:

$\int _{a}^{b}f\left(x\right)dx=\left[F(x)\right]_{a}^{b}=F\left(b\right)-F\left(a\right)$.

Rotationsvolumen

Rotation einer Sinuskurve

Rotation einer Sinuskurve

Rotation um die x-Achse

• durch Drehung einer Kurve um die x-Achse ensteht ein Rotationskörper mit Volumen V
• Volumen berechnet sich im Intervall $\left[a,b\right]$ folgendermaßen: $V=\pi \cdot \int _{a}^{b}\left(f\left(x\right)\right)^{2}dx$

Rotation um die y-Achse

• durch Drehung einer Kurve um die y-Achse ensteht ein Rotationskörper mit Volumen V
• Volumen berechnet sich mithilfe der Umkehrfunktion $f^{-1}\left(y\right)$ mit $f(x)$ stetig und monoton im Intervall $\left[a,b\right]$ folgendermaßen: $V=\pi \cdot \int _{f(a)}^{f(b)}\left(f^{-1}\left(y\right)\right)^{2}dy$ mit $f(a)$und $f(b)$ Grenzen des Wertebereichs mit $f(b)>f(a)$ oder:
  $V=\pi \cdot \int _{a}^{b}x^{2}\left|f^{'}(x))\right|dx$