Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Volumenschätzung und Verbrauch von Ressourcen/Modellierungszyklus 2

Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe II

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Ziel der Modellierung

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  • Bestimmung der Höhe der ankommenden Welle an der Glasscheibe, welche ein Elefant beim Baden erzeugt sodass sich daraus resultierend die Höhe der Glasscheibe ergibt

Vorgehensweise

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  • Annäherung der Welle mithilfe der Kosinus Funktion
  • Faktor   soll diese Welle verzerrungsfrei skalieren, sodass sich Wellenberg mit   abschätzen lässt
  • Gewicht des zentralen Wellenbergs kann   nicht übersteigen
  • weiterer Faktor lässt die Welle mit größerer Entfernung zum Ursprung abflachen
  • durch Schieberegler für  , kann durch Ausprobieren ein Wert gefunden werden
  •   im Zusammenhang mit abflachenden Faktor wird verwendet um die Höhe der Welle bei gegebener Entfernung zur Wand zu berechnen

Durchführung

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  • Querschnitt der Welle:  
 
  • durch Rotation um y-Achse wird Welle dreidimensional
  • Volumen des größten Wellenbergs lässt sich nach oben durch Gewicht abschätzen

Abflachender/dämpfender Faktor

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  •  
  •   als obere Grenze für Funktion (  noch unbestimmter Skalierungsfaktor)
  • Faktor   wird zur Höhenbestimmung der Welle benötigt
 
Obere Grenze für die Wellenfunktion
  •   durch Ausprobieren annähern oder rechnerisch bestimmen

Rotationsvolumen des Wellenbergs

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  • Integral   von   im Bereich   bis   um mit Rotationsvolumen die Masse des Wellenbergs zu bestimmen
  • 1 Einheit im Koordinatensystem = 1 Meter
  • obere Grenze:  
  • Rotationsvolumen der Fläche  :  

Bestimmung von a durch Ausprobieren

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  • Funktion mit   zur Annäherung von a mit Schieberegler
 
  • für   wird Wellenberg zu gering für Babyelefanten und für   ist Wellenberg schwerer als ein großer Elefant

Hilfsfunktion

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  • zur rechnerischen Bestimmung von a
  • Funktion darf in Nähe des Ursprungs nicht stark von skalierten Funktion abweichen:  
  • für   stimmen Funktionen überein und   wird von   nicht beeinflusst
  •   liegt im Bereich   und skaliert Volumen des Wellenbergs, der von   erzeugt wird, doch nicht von  
  • Integral   von   im Bereich von   bis   als fester Wert mit  
  • für   und   im Bereich   gilt: Amplitude von   ist skaliert mit   und obere Grenze des Integrals

Schlussfolgerung

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  • es gilt:   und  
  • somit  
  • rundet man  , ergibt sich  
  • Berechnung der Höhe der Welle mit   (Abstand der Wand zum Eintrittsort):  

Beispiel - Durchführung

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  • Elefant mit dem Fußdurchmesser   mit angenähertem Gewicht   Tonnen
  • Skalierungsfaktor  :  
  • Wand mit 10 m Entfernung von Eintrittsstelle muss   Meter hoch sein, damit die Welle nicht überläuft

Bewertung

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  • obere Abschätzung der Welle zeigt Höhe des Wassers, wo Welle auf Glasscheibe des Schwimmbeckens trifft
  • Höhenbestimmung der ankommenden Welle mithilfe des Fußdurchmessers eines Elefanten und der Entfernung zur Glasscheibe
  • außer Betracht bleibt:
    • Auftreffen der Welle an Glasscheibe
    • Abprallen und Zurückwerfen in entgegengesetzte Richtung
    • jedes Bein des Elefanten kann eigene Welle erzeugen und diese sich jeweils kreisförmig ausbreiten (in Modell springt der Elefant vollständig ins Becken)
    • Aussehen der Welle als Funktion

Optimierung

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  • GeoGebra Applet für aufgestellte Funktion
  • Erweiterung des Modells auf gesellschaftlich klimatisch wichtiges Thema: Elefant wird auf ein ins Meer fallenden Eisblock übertragen um mögliche Auswirkungen nahe gelegener Landmassen zu bestimmen