Kurs : Mathematische Modellbildung/Themen/Volumenschätzung und Verbrauch von Ressourcen/Modellierungszyklus 2
Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe II
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Ziel der Modellierung
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Bestimmung der Höhe der ankommenden Welle an der Glasscheibe, welche ein Elefant beim Baden erzeugt sodass sich daraus resultierend die Höhe der Glasscheibe ergibt Annäherung der Welle mithilfe der Kosinus Funktion
Faktor
a
{\displaystyle a}
g
{\displaystyle g}
Gewicht des zentralen Wellenbergs kann
g
{\displaystyle g}
weiterer Faktor lässt die Welle mit größerer Entfernung zum Ursprung abflachen
durch Schieberegler für
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
Querschnitt der Welle:
f
(
x
)
=
a
⋅
c
o
s
(
x
a
)
⋅
e
−
(
x
10
a
)
2
{\displaystyle f(x)=a\cdot cos({\frac {x}{a}})\cdot e^{-({\frac {x}{10a}})^{2}}}
durch Rotation um y-Achse wird Welle dreidimensional
Volumen des größten Wellenbergs lässt sich nach oben durch Gewicht abschätzen Abflachender/dämpfender Faktor
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e
−
(
x
10
a
)
2
{\displaystyle e^{-({\frac {x}{10a}})^{2}}}
a
⋅
e
−
(
x
10
a
)
2
{\displaystyle a\cdot e^{-({\frac {x}{10a}})^{2}}}
a
{\displaystyle a}
Faktor
a
{\displaystyle a}
Obere Grenze für die Wellenfunktion
a
{\displaystyle a}
Rotationsvolumen des Wellenbergs
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Integral
A
{\displaystyle A}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
0
{\displaystyle 0}
a
⋅
π
2
{\displaystyle a\cdot {\frac {\pi }{2}}}
1 Einheit im Koordinatensystem = 1 Meter
obere Grenze:
g
≥
π
⋅
A
2
{\displaystyle g\geq \pi \cdot A^{2}}
Rotationsvolumen der Fläche
A
{\displaystyle A}
π
⋅
A
2
{\displaystyle \pi \cdot A^{2}}
Bestimmung von a durch Ausprobieren
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Funktion mit
m
=
π
⋅
A
2
{\displaystyle m=\pi \cdot A^{2}}
für
a
≤
0.75
{\displaystyle a\leq 0.75}
a
≥
1.2
{\displaystyle a\geq 1.2}
zur rechnerischen Bestimmung von a
Funktion darf in Nähe des Ursprungs nicht stark von skalierten Funktion abweichen:
g
(
x
)
=
c
o
s
(
x
)
⋅
e
−
(
x
10
)
2
{\displaystyle g(x)=cos(x)\cdot e^{-({\frac {x}{10}})^{2}}}
für
a
=
1
{\displaystyle a=1}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
[
0.75
;
1.2
]
{\displaystyle [0.75;1.2]}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
Integral
B
{\displaystyle B}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
0
{\displaystyle 0}
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
B
=
0
,
9953
{\displaystyle B=0,9953}
für
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
0
,
75
≤
a
≤
1
,
2
{\displaystyle 0,75\leq a\leq 1,2}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
a
{\displaystyle a}
es gilt:
g
≥
π
⋅
A
2
{\displaystyle g\geq \pi \cdot A^{2}}
A
=
a
2
⋅
B
{\displaystyle A=a^{2}\cdot B}
somit
g
≥
π
⋅
(
a
2
⋅
B
)
2
{\displaystyle g\geq \pi \cdot (a^{2}\cdot B)^{2}}
rundet man
B
=
0
,
9953
≈
1
{\displaystyle B=0,9953\approx 1}
g
π
=
g
π
4
=
a
{\displaystyle {\sqrt {\sqrt {\frac {g}{\pi }}}}={\sqrt[{4}]{\frac {g}{\pi }}}=a}
Berechnung der Höhe der Welle mit
r
{\displaystyle r}
h
(
r
)
=
a
⋅
e
−
(
r
10
a
)
2
{\displaystyle h(r)=a\cdot e^{-({\frac {r}{10a}})^{2}}}
Beispiel - Durchführung
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Elefant mit dem Fußdurchmesser
d
=
38
c
m
{\displaystyle d=38\ cm}
g
=
70
⋅
(
d
)
3
1000000
=
3
,
841
{\displaystyle g=70\cdot {\frac {(d)^{3}}{1000000}}=3,841}
Skalierungsfaktor
a
{\displaystyle a}
a
=
g
π
4
=
3
,
841
π
4
=
1
,
051
{\displaystyle a={\sqrt[{4}]{\frac {g}{\pi }}}={\sqrt[{4}]{\frac {3,841}{\pi }}}=1,051}
Wand mit 10 m Entfernung von Eintrittsstelle muss
h
(
10
)
=
a
⋅
e
−
(
r
10
a
)
2
=
1
,
051
⋅
e
−
(
10
10
⋅
1
,
051
)
2
=
0
,
425
{\displaystyle h(10)=a\cdot e^{-({\frac {r}{10a}})^{2}}=1,051\cdot e^{-({\frac {10}{10\cdot 1,051}})^{2}}=0,425}
obere Abschätzung der Welle zeigt Höhe des Wassers, wo Welle auf Glasscheibe des Schwimmbeckens trifft
Höhenbestimmung der ankommenden Welle mithilfe des Fußdurchmessers eines Elefanten und der Entfernung zur Glasscheibe
außer Betracht bleibt:
Auftreffen der Welle an Glasscheibe
Abprallen und Zurückwerfen in entgegengesetzte Richtung
jedes Bein des Elefanten kann eigene Welle erzeugen und diese sich jeweils kreisförmig ausbreiten (in Modell springt der Elefant vollständig ins Becken)
Aussehen der Welle als Funktion GeoGebra Applet für aufgestellte FunktionErweiterung des Modells auf gesellschaftlich klimatisch wichtiges Thema: Elefant wird auf ein ins Meer fallenden Eisblock übertragen um mögliche Auswirkungen nahe gelegener Landmassen zu bestimmen
![{\displaystyle [0.75;1.2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/441c3533a62a627fcc160633a837c3de246fb313)
![{\displaystyle {\sqrt {\sqrt {\frac {g}{\pi }}}}={\sqrt[{4}]{\frac {g}{\pi }}}=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5c50f77a402e3af9ef2478b306536ac4108668a)
![{\displaystyle a={\sqrt[{4}]{\frac {g}{\pi }}}={\sqrt[{4}]{\frac {3,841}{\pi }}}=1,051}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e495204cff9deba78e251bac6ec0d5a826b61194)
