Kurs : Mathematische Modellbildung/Themen/Volumenschätzung und Verbrauch von Ressourcen/Modellierungszyklus 2
Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe II
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Bestimmung der Höhe der ankommenden Welle an der Glasscheibe, welche ein Elefant beim Baden erzeugt sodass sich daraus resultierend die Höhe der Glasscheibe ergibt
Annäherung der Welle mithilfe der Kosinus Funktion
Faktor
a
{\displaystyle a}
soll diese Welle verzerrungsfrei skalieren, sodass sich Wellenberg mit
g
{\displaystyle g}
abschätzen lässt
Gewicht des zentralen Wellenbergs kann
g
{\displaystyle g}
nicht übersteigen
weiterer Faktor lässt die Welle mit größerer Entfernung zum Ursprung abflachen
durch Schieberegler für
a
{\displaystyle a}
, kann durch Ausprobieren ein Wert gefunden werden
a
{\displaystyle a}
im Zusammenhang mit abflachenden Faktor wird verwendet um die Höhe der Welle bei gegebener Entfernung zur Wand zu berechnen
Querschnitt der Welle:
f
(
x
)
=
a
⋅
c
o
s
(
x
a
)
⋅
e
−
(
x
10
a
)
2
{\displaystyle f(x)=a\cdot cos({\frac {x}{a}})\cdot e^{-({\frac {x}{10a}})^{2}}}
durch Rotation um y-Achse wird Welle dreidimensional
Volumen des größten Wellenbergs lässt sich nach oben durch Gewicht abschätzen
e
−
(
x
10
a
)
2
{\displaystyle e^{-({\frac {x}{10a}})^{2}}}
a
⋅
e
−
(
x
10
a
)
2
{\displaystyle a\cdot e^{-({\frac {x}{10a}})^{2}}}
als obere Grenze für Funktion (
a
{\displaystyle a}
noch unbestimmter Skalierungsfaktor)
Faktor
a
{\displaystyle a}
wird zur Höhenbestimmung der Welle benötigt
Obere Grenze für die Wellenfunktion
a
{\displaystyle a}
durch Ausprobieren annähern oder rechnerisch bestimmen
Integral
A
{\displaystyle A}
von
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
im Bereich
0
{\displaystyle 0}
bis
a
⋅
π
2
{\displaystyle a\cdot {\frac {\pi }{2}}}
um mit Rotationsvolumen die Masse des Wellenbergs zu bestimmen
1 Einheit im Koordinatensystem = 1 Meter
obere Grenze:
g
≥
π
⋅
A
2
{\displaystyle g\geq \pi \cdot A^{2}}
Rotationsvolumen der Fläche
A
{\displaystyle A}
:
π
⋅
A
2
{\displaystyle \pi \cdot A^{2}}
Funktion mit
m
=
π
⋅
A
2
{\displaystyle m=\pi \cdot A^{2}}
zur Annäherung von a mit Schieberegler
für
a
≤
0.75
{\displaystyle a\leq 0.75}
wird Wellenberg zu gering für Babyelefanten und für
a
≥
1.2
{\displaystyle a\geq 1.2}
ist Wellenberg schwerer als ein großer Elefant
zur rechnerischen Bestimmung von a
Funktion darf in Nähe des Ursprungs nicht stark von skalierten Funktion abweichen:
g
(
x
)
=
c
o
s
(
x
)
⋅
e
−
(
x
10
)
2
{\displaystyle g(x)=cos(x)\cdot e^{-({\frac {x}{10}})^{2}}}
für
a
=
1
{\displaystyle a=1}
stimmen Funktionen überein und
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
wird von
a
{\displaystyle a}
nicht beeinflusst
a
{\displaystyle a}
liegt im Bereich
[
0.75
;
1.2
]
{\displaystyle [0.75;1.2]}
und skaliert Volumen des Wellenbergs, der von
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
erzeugt wird, doch nicht von
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
Integral
B
{\displaystyle B}
von
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
im Bereich von
0
{\displaystyle 0}
bis
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
als fester Wert mit
B
=
0
,
9953
{\displaystyle B=0,9953}
für
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
und
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
im Bereich
0
,
75
≤
a
≤
1
,
2
{\displaystyle 0,75\leq a\leq 1,2}
gilt: Amplitude von
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
ist skaliert mit
a
{\displaystyle a}
und obere Grenze des Integrals
es gilt:
g
≥
π
⋅
A
2
{\displaystyle g\geq \pi \cdot A^{2}}
und
A
=
a
2
⋅
B
{\displaystyle A=a^{2}\cdot B}
somit
g
≥
π
⋅
(
a
2
⋅
B
)
2
{\displaystyle g\geq \pi \cdot (a^{2}\cdot B)^{2}}
rundet man
B
=
0
,
9953
≈
1
{\displaystyle B=0,9953\approx 1}
, ergibt sich
g
π
=
g
π
4
=
a
{\displaystyle {\sqrt {\sqrt {\frac {g}{\pi }}}}={\sqrt[{4}]{\frac {g}{\pi }}}=a}
Berechnung der Höhe der Welle mit
r
{\displaystyle r}
(Abstand der Wand zum Eintrittsort):
h
(
r
)
=
a
⋅
e
−
(
r
10
a
)
2
{\displaystyle h(r)=a\cdot e^{-({\frac {r}{10a}})^{2}}}
Elefant mit dem Fußdurchmesser
d
=
38
c
m
{\displaystyle d=38\ cm}
mit angenähertem Gewicht
g
=
70
⋅
(
d
)
3
1000000
=
3
,
841
{\displaystyle g=70\cdot {\frac {(d)^{3}}{1000000}}=3,841}
Tonnen
Skalierungsfaktor
a
{\displaystyle a}
:
a
=
g
π
4
=
3
,
841
π
4
=
1
,
051
{\displaystyle a={\sqrt[{4}]{\frac {g}{\pi }}}={\sqrt[{4}]{\frac {3,841}{\pi }}}=1,051}
Wand mit 10 m Entfernung von Eintrittsstelle muss
h
(
10
)
=
a
⋅
e
−
(
r
10
a
)
2
=
1
,
051
⋅
e
−
(
10
10
⋅
1
,
051
)
2
=
0
,
425
{\displaystyle h(10)=a\cdot e^{-({\frac {r}{10a}})^{2}}=1,051\cdot e^{-({\frac {10}{10\cdot 1,051}})^{2}}=0,425}
Meter hoch sein, damit die Welle nicht überläuft
obere Abschätzung der Welle zeigt Höhe des Wassers, wo Welle auf Glasscheibe des Schwimmbeckens trifft
Höhenbestimmung der ankommenden Welle mithilfe des Fußdurchmessers eines Elefanten und der Entfernung zur Glasscheibe
außer Betracht bleibt:
Auftreffen der Welle an Glasscheibe
Abprallen und Zurückwerfen in entgegengesetzte Richtung
jedes Bein des Elefanten kann eigene Welle erzeugen und diese sich jeweils kreisförmig ausbreiten (in Modell springt der Elefant vollständig ins Becken)
Aussehen der Welle als Funktion
GeoGebra Applet für aufgestellte Funktion
Erweiterung des Modells auf gesellschaftlich klimatisch wichtiges Thema: Elefant wird auf ein ins Meer fallenden Eisblock übertragen um mögliche Auswirkungen nahe gelegener Landmassen zu bestimmen