Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni
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Ziel der Modellierung
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Kalbender Gletscher Übertragung auf klimatisch gesellschaftliches Thema
Modellierung in größeren Maßstäben
Abschätzung der Höhe einer Welle, die durch einen kalbenden Gletscher erzeugt wird
Auswirkungen auf angrenzende Küstenregionen erkennen
Schutzmaßnahmen ableiten (Deiche u.ä.) Erstellung einer dem Maßstab angepassten Wellenfunktion
Form des Gletscherbrockens spielt keine Rolle - nur Gewicht
Festlegung des Brockens auf einen symmetrischen Zylinder (3D), in 2D ist dies ein Rechteck
Volumen Zylinder ist identisch mit Volumen der "ersten" Welle
Folgerung der Seitenlänge
b
{\displaystyle b}
2
b
{\displaystyle 2b}
a
{\displaystyle a}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
obere Abschätzung der Welle:
e
{\displaystyle e}
Volumen des Eisblockes, also das Produkt aus Gewicht und Dichte des Eisblockes
(
0
,
92
k
g
/
d
m
3
)
{\displaystyle (0,92\ kg/dm^{3})}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
0
,
92
⋅
g
≥
π
⋅
A
2
{\displaystyle 0,92\cdot g\geq \pi \cdot A^{2}}
A
=
∫
0
a
π
a
2
⋅
c
o
s
(
x
2
a
)
{\displaystyle A=\int _{0}^{a\pi }{\frac {a}{2}}\cdot cos({\frac {x}{2a}})}
Rechteck
B
{\displaystyle B}
A
=
B
{\displaystyle A=B}
π
⋅
B
2
=
π
⋅
A
2
{\displaystyle \pi \cdot B^{2}=\pi \cdot A^{2}}
Position des Rechtecks, sodass bei Rotation Zylinder entsteht Wellenfunktion und Rechteck
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Faktor b in Abhängigkeit des Gewichts ausrechnen
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Es folgt:
0
,
92
⋅
g
≥
π
⋅
A
2
=
π
⋅
B
2
=
π
⋅
(
2
b
2
)
2
{\displaystyle 0,92\cdot g\geq \pi \cdot A^{2}=\pi \cdot B^{2}=\pi \cdot (2b^{2})^{2}}
b
≥
0
{\displaystyle b\geq 0}
<=>
0
,
92
⋅
g
π
=
(
2
b
2
)
2
{\displaystyle <=>{\frac {0,92\cdot g}{\pi }}=(2b^{2})^{2}}
<=>
0
,
92
⋅
g
π
=
2
b
2
{\displaystyle <=>{\sqrt {\frac {0,92\cdot g}{\pi }}}=2b^{2}}
<=>
1
2
⋅
0
,
92
⋅
g
π
=
b
2
{\displaystyle <=>{\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {0,92\cdot g}{\pi }}}=b^{2}}
<=>
0
,
92
⋅
g
4
⋅
π
=
b
2
{\displaystyle <=>{\sqrt {\frac {0,92\cdot g}{4\cdot \pi }}}=b^{2}}
<=>
0
,
92
⋅
g
4
⋅
π
=
b
{\displaystyle <=>{\sqrt {\sqrt {\frac {0,92\cdot g}{4\cdot \pi }}}}=b}
<=>
0
,
92
⋅
g
4
⋅
π
4
=
b
{\displaystyle <=>{\sqrt[{4}]{\frac {0,92\cdot g}{4\cdot \pi }}}=b}
Suchen eines passenden Skalierungsfaktors a
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Anpassung der Funktion
f
{\displaystyle f}
A
{\displaystyle A}
Es gilt:
A
=
∫
0
a
π
a
2
⋅
c
o
s
(
x
2
a
)
=
2
b
2
=
B
{\displaystyle A=\int _{0}^{a\pi }{\frac {a}{2}}\cdot cos({\frac {x}{2a}})=2b^{2}=B}
Aufstellen der Hilfsfunktion
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Hilfsfunktion
g
(
x
)
=
a
⋅
c
o
s
(
x
a
)
{\displaystyle g(x)=a\cdot cos({\frac {x}{a}})}
A
2
=
∫
0
a
π
2
g
(
x
)
d
x
=
A
2
=
∫
0
a
π
2
a
⋅
c
o
s
(
x
a
)
d
x
=
∫
0
a
π
a
2
⋅
c
o
s
(
x
2
a
)
d
x
=
A
{\displaystyle A_{2}=\int _{0}^{\frac {a\pi }{2}}g(x)dx=A_{2}=\int _{0}^{\frac {a\pi }{2}}a\cdot cos({\frac {x}{a}})dx=\int _{0}^{a\pi }{\frac {a}{2}}\cdot cos({\frac {x}{2a}})dx=A}
A
2
{\displaystyle A_{2}}
A
2
=
A
{\displaystyle A_{2}=A}
Bestimmung des Skalierungsfaktors a
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analog zu Zyklus 2:
A
2
=
a
2
⋅
∫
0
π
2
c
o
s
(
x
)
d
x
=
a
2
⋅
1
=
a
2
{\displaystyle A_{2}=a^{2}\cdot \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}cos(x)dx=a^{2}\cdot 1=a^{2}}
Darstellung der Beziehung der Flächen zueinander in GeoGebra Applet
Es folgt:
⟶
A
=
A
2
=
a
2
{\displaystyle \longrightarrow A=A_{2}=a^{2}}
⟶
a
2
=
A
=
B
=
2
b
2
{\displaystyle \longrightarrow a^{2}=A=B=2b^{2}}
<=>
a
=
2
⋅
b
{\displaystyle <=>a={\sqrt {2}}\cdot b}
<=>
b
=
a
2
{\displaystyle <=>b={\frac {a}{\sqrt {2}}}}
Bestimmung der Höhe der Welle
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Sei
x
:=
{\displaystyle x:=}
h
(
x
)
=
a
2
⋅
e
−
(
x
2
a
)
2
{\displaystyle h(x)={\frac {a}{2}}\cdot e^{-({\frac {x}{2a}})^{2}}}
Beispiel - Durchführung
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rechnerische Bestimmung der Höhe der Welle
geg.: Masse
g
=
1.000.000.000
k
g
{\displaystyle g=1.000.000.000\ kg}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
b
=
0
,
92
⋅
g
4
⋅
π
4
=
92
,
50
⟶
a
=
130
,
81
{\displaystyle b={\sqrt[{4}]{\frac {0,92\cdot g}{4\cdot \pi }}}=92,50\longrightarrow a=130,81\qquad }
einsetzen von a in
h
(
x
)
=
a
2
⋅
e
−
(
x
2
a
)
2
{\displaystyle h(x)={\frac {a}{2}}\cdot e^{-({\frac {x}{2a}})^{2}}}
Für eine Küste in
1500
k
m
{\displaystyle 1500\ km}
3
,
46
m
{\displaystyle 3,46\ m}
Die Modellierung lässt außer Acht:
Schmelzwasser
Anstieg der Wassertemperatur
Übertragung des Zyklus 2 auf 3 nicht fehlerfrei (wg. Übertragung auf große Maßstäbe)
Präzisierung durch Forschung zu Wellenausbreitung und deren Abflachung sowie deren Frequenz interaktive Landkarte (Auswirkungen Klimawandel auf Küsten)
es gibt Karten, welche Gebiete rot markieren, deren Wahrscheinlichkeit steigt, von Hochwasser oder Überschwemmungen in den nächsten Jahren heimgesucht zu werden 
![{\displaystyle <=>{\sqrt[{4}]{\frac {0,92\cdot g}{4\cdot \pi }}}=b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acb89a766ddbb44e702f212f744e4af34f84a157)
![{\displaystyle b={\sqrt[{4}]{\frac {0,92\cdot g}{4\cdot \pi }}}=92,50\longrightarrow a=130,81\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a17d4c3b85ed22bd9a98a913ff664c91caae1d7)
