Kurs:Quantencomputing/Quantenmechanik

Schrödinger-Gleichung

In der Quantenmachnik werden physikalische Systeme durch eine komplexwertige Wellenfunktion $\Psi ({\vec {r}},t)$ beschrieben. Diese Wellenfunktion erfüllt die Schrödinger-Gleichung

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\hat {H}}\Psi$

${\hat {H}}$ ist dabei der sogenannte Hamilton-Operator und beschreibt die Energie des Systems. Im Fall eines Teilchens der Masse $m$ in einer Dimension in einem Potential $V(x)$ ist dieser durch

${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V({\hat {x}})=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V({\hat {x}})$

gegeben.

Es handelt sich um eine lineare Differentialgleichung, so dass für zwei Lösungen $\Psi _{1},\Psi _{2}$ der Ausdruck

$\Psi =\lambda \Psi _{1}+\mu \Psi _{2}$

auch eine Lösung ist. Damit erlaubt die SChrödiinger-Gleichung Überlagerungen bzw. Superpositionen.

Wahrscheinlichkeitsinterpretation

Aus der Schrödinger-Gleichung lässt sich

${\frac {\partial }{\partial t}}|\Psi |^{2}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\hbar }{2m\mathrm {i} }}\left(\Psi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi -\Psi {\frac {\partial }{\partial x}}\Psi ^{*}\right)\right)=0$

herleiten. Es handelt sich um die Kontinuitätsgleichung der Quantenmechanik. Damit ist die Größe

$\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\,|\Psi |^{2}$

erhalten und kann auf Eins gesetzt werden. Zusätzlich ist die Größe $|\Psi |^{2}$ stets größer oder gleich Null. Sie kann als Wahrscheinlichkeitsdichte ein Teilchen im Intervall $[x,x+\mathrm {d} x]$ anzutreffen interpretiert werden. Die Erwartungswerte eines Operators ${\hat {A}}$ sind durch

$\langle {\hat {A}}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\,\Psi ^{*}({\hat {A}}\Psi )$

zu bestimmen.

Vektorraum-Darstellung

Die Menge der komplexwertigen quadratintegrablen Funktionen $\Psi (x)$ bildet einen Vektorraum mit den Vektoren $|\Psi \rangle$. Er kann mit dem Skalarprodukt

$\langle \Phi |\Psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\,\Phi ^{*}\Psi$

versehen werden. Von diesem wird eine Norm durch

$\||\Psi \rangle \|={\sqrt {\langle \Psi |\Psi \rangle }}$

induziert. Es handelt sich um einen Hilbertraum, der als $L^{2}$ bezeichnet wird.

Messungen

Messgrößen werden durch hermitesche Operatoren ${\hat {A}}$ beschrieben. Ihre (reellen) Eigenwerte stellen mögliche Messergebnisse dar. Damit lässt sich jeder Zustand durch eine Linearkombinationen der Eigenzustände von ${\hat {A}}$ durch

$|\Psi \rangle =\sum _{a}c_{a}|a\rangle =\sum _{a}|a\rangle \langle a|\Psi \rangle$

ausdrücken. Bei der Messung des Eigenwerts $a'$ kollabiert der Zustand auf den zum Eigenwert gehörenden Eigenzustand $|a'\rangle$.

Heisenberg'sche Unbestimmtheitsrelation

Die Unschärfe $\Delta A$ eines Operators ${\hat {A}}$ kann durch

$(\Delta A)^{2}=\langle ({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )^{2}\rangle$

bestimmt werden. Aus der Cauchy-Schwarz'schen Ungleichung, kann der Zusammenhang

$(\Delta A)\cdot (\Delta B)\geq \left|{\frac {1}{2\mathrm {i} }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]\right|$

hergeleitet werden. Dieses Ergebnis ist als Heisenberg'sche Unbestimmtheitsrelation bekannt.

Siehe auch

Weiter hielfreiche Wikipediartikel sind:

• Schrödinger-Gleichung
• Mathematische Beschreibung der Quantenmechanik
• Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Quantenmechanik
• Heisenberg'sche Unbestimmtheistrelation