Kurs:Räumliche Modellbildung/Explizite-implizite Modelle

Graph der Exponentialfunktion $f(x)=e^{x}$ (rot) mit der Tangente (hellblau gestrichelte Linie) durch den Punkt $(0|1)$

Räumliche-implizite explizite Modelle

Bei räumlich-implizite wird der Raum nicht ausdrücklich berücksichtigt werden, d.h. es werden z.B. bei Populationen die Anzahl von Individuen betrachtet aber nicht die Position im Raum, wo sich die Individuen befinden. Bei Räuber-Beute-Modellen in denen z.B. Herdenbildung mit berücksichtigt, wird der Ort der Individuen berücktigt. In einem solchen Fall spricht man von räumlich expliziten Modellen.

Räumliche-implizite Modelle

Sei $N(t)$ die Populationsgröße zum Zeitpunkt $t\in T$ mit der Zeitmenge $T$

${\frac {\partial N(t)}{\partial t}}=r_{m}N(t)\Rightarrow N(t)=N_{0}e^{r_{n}t}$

Dabei ist $r_{m}\in \mathbb {R}$ die individuelle Wachstumsrate in dem Modell.

• $r_{m}>0$ wird z.B. bei einem exponentielle Wachstum verwendet
• $r_{m}<0$ wird z.B. bei Zerfallsprozessen verwendet

Bemerkung:

• Wenn man eine Differentialgleichung n-ter Ordnung betrachtet, so hat diese $n$ freie Parameter! $N_{0}$ ist der freie Parameter.
• $N_{0}$ ist die Anfangsbedigungen
• Die Modellannahme hat einige Probleme: Grenzen von Ressourcen, Störungen im System, zeitabhängige Wachstumsrate (Sommer/Winter Unterschiede). Warum lässt einzelne Einflussfaktoren in dem Modell weg und wann fügt man neue Terme in eine Differential-Gleichung ein.

Differenzenquotient - Ableitung

Veranschaulichung des Differenzenquotienten: Er entspricht der Steigung der blauen Geraden

Ist $f\colon D_{f}\to \mathbb {R}$ eine reellwertige Funktion, die im Bereich $D_{f}\subset \mathbb {R}$ definiert ist, und ist $[x_{0};x_{1}]\subset D_{f}$, so nennt man den Quotienten

${\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$

Differenzenquotient von $f$ im Intervall $[x_{0};x_{1}]$.

Schreibt man $\Delta x:=x-x_{0}$ und $\Delta f(x):=f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)$, dann ergibt sich die alternative Schreibweise

${\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$.

Setzt man $h=x-x_{0}$, also $x=x_{0}+h$, so erhält man die Schreibweise

${\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$.

Geometrisch entspricht der Differenzenquotient der Steigung der Sekante des Graphen von $f$ durch die Punkte $(x_{0},f(x_{0}))$ und $(x,f(x))$. Für $x\rightarrow x_{0}$ bzw. $h\rightarrow 0$ wird aus der Sekante eine Tangente an der Stelle $x_{0}$.

Modelle mit Ressourcenlimitierung

Je näher die Population sich der Kapazität K nähert, desto kleiner wird die Wachstumrate

Bei der intraspezifische Konkurrenz konkurrieren die einzelnen Individuen im einem Habitat um die gleichen begrenzten Nahrungsressourcen. Unter der Berücksichtigung der Grenzen der Ressourcen kann die Population in der Zeit nicht unbegrenzt weiter wachsen. In diesem Sinne vernachlässigt eine Beschreibung des Wachstums mit einer Exponentialfunktion.

$g(x)={\frac {0-r_{m}}{K-0}}\cdot x+r_{m}=r_{m}\cdot \left(1-{\frac {x}{K}}\right)$

Lösung von Differentialgleichung

Lösung der Differentialgleichung durch Trennung der Variablen (Youtube Video von Daniel Jung).

Aufgabe

• Lösen Sie die Differentialgleichung durch Trennung der Variablen.
• Plotten Sie die Wachstumsrate in Abhängigkeit von der Population $N\in \mathbb {R} ^{+}$.

Populationsgröße unter Berücksichtigung der Ressourcenlimitierung

Sei $N(t)$ die Populationsgröße zum Zeitpunkt $t\in T$ mit der Zeitmenge $T$

${\frac {\partial N(t)}{\partial t}}=r_{m}\left(1-{\frac {N(t)}{K}}\right)\Rightarrow N(t)=N_{0}e^{r_{n}t}$

Dabei ist $K\in \mathbb {R} ^{+}$ die Kapazität des Systems und ${\widetilde {r_{m}}}\in \mathbb {R}$ die intrinsische Wachstumsrate in dem Modell. In diesem logistischen Modell wird daraus in Abhängigkeit von $N(t)$ die individuelle Wachstumsrate $r_{m}:={\widetilde {r_{m}}}\left(1-{\frac {N(t)}{K}}\right)$ berechnet. Aus der Differentialgleichung ergibt sich:

• Wenn die Population $N(t)<K$ erfüllt ist, ist die Kapazität $K$ noch nicht erreicht. Dann gilt ${\frac {N(t)}{K}}<1$ bzw. $1-{\frac {N(t)}{K}}>0$ und die Population wächst mit $r_{m}\left(1-{\frac {N(t)}{K}}\right)>0$.
• Wenn die Population $N(t)>K$ gilt, übertsteigt die Population die Kapazität und $1-{\frac {N(t)}{K}}<0$ und die Population schrumpft mit $r_{m}\left(1-{\frac {N(t)}{K}}\right)<0$.

Bemerkung: Populationen sind natürliche Zahlen und damit ist auch bei einem Konvergenzverhalten von $\lim _{x\rightarrow \infty }e^{-x}=0$ und $e^{-x}>0$ für alle $x\in \mathbb {R}$ ab einem gewissen Zeitpunkt die Population als "ausgestorben" bewertet werden.

Lösung von linearen Differentialgleichung

intrische Wachstumsrate hängt linear von der Populationsgröße und Kapazität K ab. Bei Populationsgrößen oberhalb der Kapazität schrumpf die Population und Sie schrumpf um so stärker, je weiter die Kapazität überschritten wird.

• (linearen Differentialgleichung) Man setzt $N(t)=e^{\lambda t}$ mit $\lambda \in \mathbb {C}$. Ergänzen Sie die Lösungsverfahren.
• (nicht-linearen Differentialgleichung) Die Differentialgleichung in nicht linear. Daher kann die Lösung nicht mehr mit dem obigen Verfahren gelöst werden. Daher verwendet man als Lösungsverfahren das Trennung der Variablen:

$\partial N={\widetilde {r_{m}}}\left(1-{\frac {N(t)}{K}}\right)\partial t$.

Daraus folgt

${\frac {dN}{N(t){\widetilde {r_{m}}}\left(1-{\frac {N(t)}{K}}\right)}}=dt$

daraus folgt:

$\int _{N_{0}}^{N}{\frac {dN'}{N(t){\widetilde {r_{m}}}\left(1-{\frac {N(t)}{K}}\right)}}=\int _{t_{o}=0}^{t}dt'=t$

daraus folgt:

${\frac {1}{\widetilde {r_{m}}}}ln\left.{\frac {N'}{1-{\frac {N'(t)}{K}}}}\right|_{N_{0}}^{N}=\int _{t_{o}=0}^{t}dt'=t$

daraus folgt:

$N(t)={\frac {K}{e^{-{\widetilde {r_{m}}}t}\left({\frac {K}{N_{o}}}-1\right)+1}}$

Aufgaben

• Wie unterscheiden sich homogene und inhomogene Differentialgleichungen?
• Wäre $N(t)=N_{0}e^{r_{n}t}+c$ mit $c\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ auch eine Lösung der Differentialgleichung?

${\frac {\partial N(t)}{\partial t}}=r_{m}N(t)$

• Plotten Sie die Lösung der Differentialgleichung in der Software R!
• Erklären Sie, warum die Nullstelle der Wachstumsrate ein Gleichgewichtspunkt ist?
• Erklären Sie das Konzept eines stabilen bzw. instabilen Gleichgewichts eines Systems! Wie kann man an der Nullstelle der Wachstumsrate erkennen, ob es sich um einen stabilen bzw. instabilen Gleichgewichtspunkt handelt.
• Was passiert, wenn Sie in einem ressourcenlimitierten System mit einer Population $N(t)$ starten, die größer ist als die Kapazität $K$ eines Systems?

Zeitdiskrete logistische Gleichung

Räuber-Beute-Modelle

Sei $T$ eine Zeitmenge. Gegeben sind folgende Funktionen

• $R(t)$ beschreibt die Anzahl der Räuber zum Zeipunkt $t\in T$ mit $R_{0}:=R(t_{0})$ die Startpopulation der Räuber zum Startzeitpunkt $t_{0}\in T$ der Modellierung.
• $B(t)$ beschreibt die Anzahl der Beute zum Zeipunkt $t\in T$ mit $B_{0}:=R(t_{0})$ die Startpopulation der Beute zum Startzeitpunkt $t_{0}\in T$ der Modellierung.

Für die Anfangssituation im Modell kann man zur Vereinfachung bei der Parametrisierung der Zeitmenge $T$ den Anfangszeitpunkt auf $t_{0}=0$ setzen und damit $R_{0}:=R(0)$ und $B_{0}:=B(0)$ festlegen.

${\frac {\partial B(t)}{\partial t}}=b_{1}B(t)\Rightarrow B(t)=B_{0}e^{b_{1}t}$ mit $b_{1}>0$

${\frac {\partial R(t)}{\partial t}}=-r_{1}R(t)\Rightarrow B(t)=R_{0}e^{-r_{1}t}$ mit $r_{1}>0$

Wechselseitige Abhängigkeit zwischen Populationen

Räuber-Beute-Modelle sind gekoppelte Differential-Gleichungen, die Kopplung wird durch die Ergänzung der folgenden Terme erreicht:

${\frac {\partial B(t)}{\partial t}}=b_{1}B(t)-b_{2}B(t)R(t)\Rightarrow B(t)=?$

${\frac {\partial R(t)}{\partial t}}=-r_{1}R(t)+r_{2}R(t)B(t)\Rightarrow R(t)=?$

Motivation für die Definition der Terme

Die Terme können wie folgt motiviert werden:

• Die Beutepopulation nimmt ab, wenn es Räuber gibt.
• Die Räuberpopulation nimmt zu, wenn es Beute gibt.
• $b_{2}>0$ beschreibt den Beutedruck für die Beute
• $r_{2}>0$ beschreibt den Reproduktionsvorteil durch die Verfügbarkeit von Beute
• $B(t)R(t)$ beschreibt die kombinatorischen Möglichkeiten, dass ein einzelner Räuber ein Beutetier treffen kann (Ideale Durchmischung, d.h. keine räumliche Konzentration von Räuber und Beute in bestimmten Arealen befinden).

Numerische Lösung der Differentialgleichung

Das Package deSolve in R wird zur numerischen Lösung der Differentialgleichung verwendet.

Aufgaben

• Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem physikalischen Phasenraum und der Spur von Integrationswegen in der Funktionentheorie?
• Wie kann man bei eine unbekannten Verteilung feststellen, ob die erhobene Daten normalverteilt sind?

Strukturelle Instabilität

Wenn kleinere Veränderungen an der Beschreibung der Modelle zu einer strukturellen Veränderung des Verhaltens des modellierten Systems bezeichnet man das als sturkturelle Instabilität.

Siehe auch

Wikiversity-Quellen

• Diffusion
• Definition: Gewöhnliche Differentialgleichung
• Wikiversity engl. KnitR
• Octave-Tutorial

Digitale Materialien

• Lotka-Volterra - Räuber-Beute-Modelle - Geogebra

Wikipedia-Quellen

• Lotka-Volterra-Gleichungen
• Lotka-Volterra-Regeln Lotka-Volterra - Phasendiagramm - Geogebra
• Phasenraum - Spur von Integrationswegen in den komplexen Zahlen
• monophage Räuber und polyphage Räuber
• Wikipedia:Differentialgleichung
• Neutrale Stabilität
• Weibull-Verteilung - bei einer gegebenen zweidimensionalen Normalverteilung ist der Radius bei einer Koordinatentransformation in Polarkoordinaten Weibull-verteilt.
• Funktionaldeterminante zu Berechnung von Integralen nach Koordninatentransformation, als bijektive stetig partiell differenzierbaren Koordinatentransformationsfunktion.
  • Polarkoordinatensystem
  • Kartesisches Koordinatensystem
• Simulation von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  • Monte-Carlo-Simulation
  • Intervallmethode
  • Inversionsmethode

Technische Aspekte

• R-Tutorial (Wiki-Book Druckversion)
• KnitR: Mit KnitR Office-Dokumente/PDF und Präsentationen direkt mit R erstellen, d.h. die R-Berechnungscode wird den dazugehörigen Text integriert und in einem Dokument gespeichert. Das R-Paket v:en:KnitR erstellt dann z.B. ein Office-Dokument als Ausgabe, dass dann z.B. die von R generierten Graphiken und Werten im Text enthält. Das Officedokument kann dann z.B. in LibreOffice weiter verarbeitet werden.
• Octave-Tutorial

Verwendete R-Packages

Die Packages können über Packagemanager in R-Studio installiert. Die folgenden Links liefern Hinweise zur Verwendung der jeweiligen Packages.

• deSolve in R-Forge