Kurs:Reelle und komplexe Analysis (Sheffield 2007)/Abschnitt 2.4

Seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale normierte ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Für eine Abbildung ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ und einen fixierten Vektor ${}u\in V$ ist die Richtungsableitung in Richtung ${}u$ (falls diese existiert) selbst eine Abbildung

$D_{u}\varphi \colon G\longrightarrow W,\,P\longmapsto {\left(D_{u}\varphi \right)}{\left(P\right)}.$

Als solche macht es Sinn zu fragen, ob ${}D_{u}\varphi$ in Richtung ${}v\in V$ differenzierbar ist. Wir sprechen dann von höheren Ableitungen. Der folgende Satz heißt Satz von Clairaut oder auch Satz von Schwarz.

Satz

Es sei ${}G\subseteq V$ offen und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung, so dass für ${}u,v\in V$ die zweiten Richtungsableitungen ${}D_{v}D_{u}\varphi$ und ${}D_{u}D_{v}\varphi$ existieren und stetig sind.

Dann gilt

${}D_{v}D_{u}\varphi =D_{u}D_{v}\varphi \,.$

Beweis

Durch Betrachten der einzelnen Komponenten von ${}\varphi$ bezüglich einer Basis von ${}W$ können wir annehmen, dass ${}W={\mathbb {K} }$ und ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ ist. Wir wollen den eindimensionalen Mittelwertsatz der Differentialrechnung anwenden. Sei ${}P\in G$ ein fixierter Punkt. Wir betrachten die Abbildung ${}(s,t)\mapsto \varphi (P+su+tv)$ und studieren diese für hinreichend kleine ${}s$ und ${}t$. Wir fixieren diese (für den Moment) und betrachten die differenzierbare Abbildung

$\sigma \longmapsto \varphi (P+\sigma u+tv)-\varphi (P+\sigma u).$

Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein (von ${}s$ und ${}t$ abhängiges) ${}s_{1}\in {]0,s[}$ mit

$\varphi (P+su+tv)-\varphi (P+su)-\varphi (P+tv)+\varphi (P)=s\cdot ({\left(D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u+tv\right)}-{\left(D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u\right)})\,.$

Nun wenden wir erneut den Mittelwertsatz auf die differenzierbare Abbildung

$\tau \longmapsto {\left(D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u+\tau v\right)}$

an, und erhalten die Existenz eines ${}t_{1}\in {]0,t[}$ mit

${\left(D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u+tv\right)}-{\left(D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u\right)}=t\cdot {\left(D_{v}D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u+t_{1}v\right)}\,.$

Zusammen erhalten wir

$\varphi (P+su+tv)-\varphi (P+su)-\varphi (P+tv)+\varphi (P)=st\cdot {\left(D_{v}D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u+t_{1}v\right)}\,.$

Wenden wir denselben Trick in umgekehrter Reihenfolge an, so erhalten wir ${}s_{2}$ und ${}t_{2}$, so dass dieser Ausdruck auch gleich

$st\cdot {\left(D_{u}D_{v}\varphi \right)}{\left(P+s_{2}u+t_{2}v\right)}$

ist. Somit schließen wir für (hinreichend kleine) gegebene ${}s,t>0$, dass positive ${}s_{1},s_{2}\leq s$ und ${}t_{1},t_{2}\leq t$ existieren mit

${}{\left(D_{v}D_{u}\varphi \right)}{\left(P+s_{1}u+t_{1}v\right)}={\left(D_{u}D_{v}\varphi \right)}{\left(P+s_{2}u+t_{2}v\right)}\,.$

Für ${}s\rightarrow 0$ und ${}t\rightarrow 0$ konvergieren auch ${}s_{1},s_{2},t_{1}$ und ${}t_{2}$ gegen ${}0$. Die Stetigkeit der beiden zweiten Richtungsableitungen impliziert für ${}s,t\rightarrow 0$ die Gleichheit

${}{\left(D_{v}D_{u}\varphi \right)}{\left(P\right)}={\left(D_{u}D_{v}\varphi \right)}{\left(P\right)}\,.$

$\Box$