Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 11/latex

\setcounter{section}{11}






\zwischenueberschrift{Aufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {{ \mathcal F }} {und} {{ \mathcal G }} {} \definitionsverweis {Garben}{}{} auf dem \definitionsverweis {topologischen Raum}{}{} $X$. Zeige, dass durch
\mathl{U \mapsto { \mathcal F } { \left( U \right) } \times { \mathcal G } { \left( U \right) }}{} mit den natürlichen \definitionsverweis {Produktabbildungen}{}{} eine Garbe auf $X$ gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei ${ \mathcal G }$ eine \definitionsverweis {Garbe}{}{} auf einem nicht \definitionsverweis {zusammenhängenden Raum}{}{} $X$ mit einer Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X }
{ = }{ U \uplus V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in \definitionsverweis {disjunkte}{}{} nichtleere offene Mengen. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal G } { \left( X \right) } }
{ = }{ { \mathcal G } { \left( U \right) } \times { \mathcal G } { \left( V \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} mit einer Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X }
{ = }{ Y \uplus Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in disjunkte offene nichtleere Teilmengen. Es sei ${ \mathcal G }$ eine \definitionsverweis {Garbe}{}{} auf $Y$ und ${ \mathcal H }$ eine Garbe auf $Z$. Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal F } { \left( U \right) } }
{ =} { { \mathcal G } { \left( U \cap Y \right) } \times { \mathcal H } { \left( U \cap Z \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Garbe auf $X$ definiert ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {Hausdorffraum}{}{} mit zumindest zwei Punkten und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \neq }{\emptyset }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} eine Menge. Zeige, dass die \definitionsverweis {konstante Prägarbe}{}{} zu $M$ keine \definitionsverweis {Garbe}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Einschränkung einer \definitionsverweis {Garbe}{}{} auf eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Garbe ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt und $G$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Wir betrachten die Zuordnung
\mathdisp {U \longmapsto { \mathcal G } { \left( U \right) } \defeq \begin{cases} G \, , \text{ falls } P \in U \\ 0 \text{ sonst} \, . \end{cases}} { }
mit den naheliegenden Restriktionsabbildungen zu offenen Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ \subseteq }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass ${ \mathcal G } { \left( U \right) }$ eine \definitionsverweis {Garbe von kommutativen Gruppen}{}{} ist. }{Bestimme den \definitionsverweis {Halm}{}{} von ${ \mathcal G }$ im Punkt $P$. }{Es sei nun $P$ ein abgeschlossener Punkt. Besitmme die Halm für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q }
{ \neq }{ P }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}

Die in der vorstehenden Aufgabe konstruierte Garbe nennt man \stichwort {Wolkenkratzergarbe} {} \zusatzklammer {zu $G$ im Punkt $P$} {} {.}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {\varphi} { { \mathcal F } } { { \mathcal G } } {} ein \definitionsverweis {Garbenmorphismus}{}{} zwischen \definitionsverweis {Garben}{}{} auf einem \definitionsverweis {topologischen Raum}{}{} $X$ und es sei \maabb {\varphi_U} { { \mathcal F } { \left( U \right) } } { { \mathcal G } { \left( U \right) } } {} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} für jede offene Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass dann auch jede \definitionsverweis {Halmabbildung}{}{} \maabb {\varphi_P} { { \mathcal F }_P } { { \mathcal G }_P } {} surjektiv ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei ${ \mathcal G }$ eine \definitionsverweis {Garbe von kommutativen Gruppen}{}{} auf einem \definitionsverweis {topologischen Raum}{}{} $X$. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal G } { \left( \emptyset \right) } }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} also die triviale Gruppe ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und ${ \mathcal F }$ eine \definitionsverweis {Prägarbe}{}{} auf $X$. Zeige, dass durch die Zuordnung
\mathdisp {U \mapsto \prod_{P \in U} { \mathcal F }_P} { }
\zusatzklammer {die Produktmenge aus allen \definitionsverweis {Halmen}{}{} zu $U$} {} {} mit den natürlichen Projektionen eine Prägarbe gegeben ist, und dass es einen natürlichen \definitionsverweis {Prägarbenhomomorphismus}{}{} von ${ \mathcal F }$ in diese Prägarbe gibt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,} ${ \mathcal G }$ eine \definitionsverweis {Garbe}{}{} auf $X$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal F } }
{ \subseteq }{ { \mathcal G } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Untergarbe}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t }
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal G } \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t_P }
{ \in }{ { \mathcal F }_P }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t }
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal F } \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ eine \definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt. Wir definieren zu einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal I } (U) }
{ \defeq} { { \left\{ f \in \Gamma (U, {\mathcal O}_X ) \mid f (P) = 0, \text{ falls } P \in U \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungfuenf{Zeige, dass ${ \mathcal I }$ eine \definitionsverweis {Untergarbe}{}{} von \definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{} der Strukturgarbe der \definitionsverweis {holomorphen Funktionen}{}{} auf $X$ ist. }{Zeige, dass zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ \in }{ \Gamma (U, {\mathcal O}_X ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ { \mathcal I } { \left( U \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ fg }
{ \in }{ { \mathcal I } { \left( U \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{Zeige, dass für die \definitionsverweis {Halme}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal I }_Q }
{ =} { {\mathcal O}_{ X,Q } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q }
{ \neq }{ P }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. }{Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal I }_P }
{ \subseteq} { {\mathcal O}_{ X,P } }
{ =} { {\mathbb C} \{\{ Z \}\} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gleich dem von der Variablen $Z$ erzeugten \definitionsverweis {Ideal}{}{} im Ring der konvergenten Potenzreihen ist \zusatzklammer {vergleiche Lemma 10.12} {} {.} }{Es sei $X$ nun \definitionsverweis {kompakt}{}{} und \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{.} Bestimme
\mathl{\Gamma { \left( X, { \mathcal I } \right) }}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und es sei \maabb {\varphi} { { \mathcal F } } { { \mathcal G } } {} ein \definitionsverweis {Homomorphismus}{}{} von \definitionsverweis {Garben}{}{} von \definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{.} Zeige, dass durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( \operatorname{kern} \varphi \right) } (U) }
{ \defeq }{ \operatorname{kern} \varphi_U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Garbe von Gruppen auf $X$ definiert ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und es sei \maabb {\varphi} { { \mathcal F } } { { \mathcal G } } {} ein \definitionsverweis {Homomorphismus}{}{} von \definitionsverweis {Garben}{}{} von \definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist, wenn
\mathl{\operatorname{kern} \varphi}{} die Nullgarbe ist.

}
{} {}

Die Vergarbung einer konstanten Prägarbe nennt man \stichwort {lokal konstante Garbe} {} und manchmal auch einfach \stichwort {konstante Garbe} {.}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei ${ \mathcal F }$ eine \definitionsverweis {konstante Prägarbe}{}{} auf einem \definitionsverweis {topologischen Raum}{}{} $X$ zur Menge $M$. Zeige, dass der \definitionsverweis {Halm}{}{} der \definitionsverweis {Vergarbung}{}{} von ${ \mathcal F }$ in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gleich $M$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {diskrete}{}{} \definitionsverweis {topologische Gruppe}{}{} und $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.} Es sei ${ \mathcal G }$ die \definitionsverweis {konstante Prägarbe}{}{} auf $X$ zu $G$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Vergarbung}{}{} von ${ \mathcal G }$ gleich
\mathl{C^0(-,G)}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass auf $\R$ die folgenden \definitionsverweis {Prägarben}{}{} verschieden sind. \aufzaehlungdrei{Die Prägarbe der konstanten Funktionen mit Werten in $\R$. }{Die Garbe der lokal-konstanten Funktionen mit Werten in $\R$. }{Die Garbe der stetigen Funktionen mit Werten in $\R$. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei eine \definitionsverweis {Garbe}{}{} ${ \mathcal G }$ von \definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{} und eine \definitionsverweis {Untergarbe}{}{} von Gruppen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal F } }
{ \subseteq }{ { \mathcal G } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben, und es sei
\mathl{{ \mathcal G } / { \mathcal F }}{} die \definitionsverweis {Quotientengarbe}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \mathcal G } / { \mathcal F } \right) }_P }
{ =} {{ \mathcal G }_P / { \mathcal F }_P }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei ${ \mathcal G }$ eine \definitionsverweis {Garbe}{}{} von \definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal F } }
{ \subseteq }{ { \mathcal G } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} einer \definitionsverweis {Untergarbe}{}{} von Gruppen mit der \definitionsverweis {Quotientengarbe}{}{}
\mathl{{ \mathcal G }/ { \mathcal F }}{.} Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungdrei{Jedes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal G }/ { \mathcal F } \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} wird repräsentiert durch eine Familie
\mathbed {(U_i, g_i)} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X }
{ = }{ \bigcup_{i \in I} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine offene Überdeckung ist und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g_i }
{ \in }{ \Gamma { \left( U_i, { \mathcal G } \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Schnitte sind mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g_i {{|}}_{U_i \cap U_j} - g_j {{|}}_{U_i \cap U_j} }
{ \in} { \Gamma { \left( U_i \cap U_j, { \mathcal F } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} und jede solche Familie liegt ein Element in
\mathl{\Gamma { \left( X, { \mathcal G }/ { \mathcal F } \right) }}{} fest. }{Zwei solche Familien \mathkor {} {(U_i, g_i)} {} {(U_i, h_i)} {} \zusatzklammer {also zur gleichen Überdeckung} {} {} definieren genau dann das gleiche Element in
\mathl{\Gamma { \left( X, { \mathcal G }/ { \mathcal F } \right) }}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g_i -h_i }
{ \in} { \Gamma { \left( U_i, { \mathcal F } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle $i$ ist. }{Zwei Familien \mathkor {} {(U_i, g_i)} {und} {(V_j, h_j)} {} definieren genau dann das gleiche Element in
\mathl{\Gamma { \left( X, { \mathcal G }/ { \mathcal F } \right) }}{,} wenn auf einer \zusatzklammer {jeder} {} {} gemeinsamen Verfeinerung der beiden Überdeckungen die Differenzen zu ${ \mathcal F }$ gehören. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei eine \definitionsverweis {Garbe}{}{} ${ \mathcal G }$ von \definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{} und eine \definitionsverweis {Untergarbe}{}{} von Gruppen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal F } }
{ \subseteq }{ { \mathcal G } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben. Zeige, dass es einen kanonischen \definitionsverweis {surjektiven}{}{} \definitionsverweis {Garbenhomomorphismus von kommutativen Gruppen}{}{} \maabbdisp {} { { \mathcal G } } { { \mathcal G } / { \mathcal F } } {} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{.} Wir betrachten die kurze exakte Garbensequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, C^0(-,\R) \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, \operatorname{Abb} \, { \left( - , \R \right) } \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \operatorname{Abb} \, { \left( - , \R \right) }/ C^0(-,\R) \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
auf $I$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ = }{U \cup V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Überdeckung mit \zusatzklammer {in $I$} {} {} offenen Intervallen und es sei ein globaler Schnitt in der \definitionsverweis {Quotientengarbe}{}{}
\mathl{\operatorname{Abb} \, { \left( - , \R \right) }/ C^0(-,\R)}{} gegeben, der durch Schnitte \mathkor {} {s \in \operatorname{Abb} \, { \left( U , \R \right) }} {und} {t \in \operatorname{Abb} \, { \left( V , \R \right) }} {} repräsentiert werde. Zeige, dass dieser Schnitt durch eine Abbildung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \in }{\operatorname{Abb} \, { \left( I , \R \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} repräsentiert wird.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ eine \definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt und sei ${ \mathcal I }$ die in Aufgabe 11.11 konstruierte \definitionsverweis {Untergarbe}{}{} der Strukturgarbe ${\mathcal O}_{ X }$. Bestimme die \definitionsverweis {Quotientengarbe}{}{} ${\mathcal O}_{ X }/ { \mathcal I }$.

}
{} {Tipp: Siehe Aufgabe 11.6.}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} fixiert, wir betrachten das komplexe Potenzieren \maabbeledisp {} { {\mathbb C} ^{\times} } { {\mathbb C} ^{\times} } {z} {z^n } {,} das ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} bezüglich der multiplikativen Gruppe ist und dessen Kern die Gruppe $E_n$ der $n$-ten \definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{} ist. Nach Beispiel 6.2 ist die Abbildung ferner eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} ist. Definiere auf einer \definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{} $X$ analog zu Beispiel 11.14 eine \definitionsverweis {Garbenversion}{}{} zu diesen Gruppen und Gruppenhomomorphismen.

}
{} {}