Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 11

Aufgaben

Aufgabe

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ Garben auf dem topologischen Raum ${}X$. Zeige, dass durch ${}U\mapsto {\mathcal {F}}{\left(U\right)}\times {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ mit den natürlichen Produktabbildungen eine Garbe auf ${}X$ gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe auf einem nicht zusammenhängenden Raum ${}X$ mit einer Zerlegung ${}X=U\uplus V$ in disjunkte nichtleere offene Mengen. Zeige ${}{\mathcal {G}}{\left(X\right)}={\mathcal {G}}{\left(U\right)}\times {\mathcal {G}}{\left(V\right)}$.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum mit einer Zerlegung ${}X=Y\uplus Z$ in disjunkte offene nichtleere Teilmengen. Es sei ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe auf ${}Y$ und ${}{\mathcal {H}}$ eine Garbe auf ${}Z$. Zeige, dass durch

${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}={\mathcal {G}}{\left(U\cap Y\right)}\times {\mathcal {H}}{\left(U\cap Z\right)}\,$

für ${}U\subseteq X$ eine Garbe auf ${}X$ definiert ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein Hausdorffraum mit zumindest zwei Punkten und es sei ${}M\neq \emptyset$. eine Menge. Zeige, dass die konstante Prägarbe zu ${}M$ keine Garbe ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Einschränkung einer Garbe auf eine offene Teilmenge ${}U\subseteq X$ eine Garbe ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, ${}P\in X$ ein Punkt und ${}G$ eine kommutative Gruppe. Wir betrachten die Zuordnung

$U\longmapsto {\mathcal {G}}{\left(U\right)}:={\begin{cases}G\,,{\text{ falls }}P\in U\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}$

mit den naheliegenden Restriktionsabbildungen zu offenen Teilmengen ${}V\subseteq U$.

1. Zeige, dass ${}{\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen ist.
2. Bestimme den Halm von ${}{\mathcal {G}}$ im Punkt ${}P$.
3. Es sei nun ${}P$ ein abgeschlossener Punkt. Besitmme die Halm für jeden Punkt ${}Q\neq P$.

Die in der vorstehenden Aufgabe konstruierte Garbe nennt man Wolkenkratzergarbe (zu ${}G$ im Punkt ${}P$).

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Garbenmorphismus zwischen Garben auf einem topologischen Raum ${}X$ und es sei ${}\varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}{\left(U\right)}\rightarrow {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ surjektiv für jede offene Menge ${}U\subseteq X$. Zeige, dass dann auch jede Halmabbildung ${}\varphi _{P}\colon {\mathcal {F}}_{P}\rightarrow {\mathcal {G}}_{P}$ surjektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum ${}X$. Zeige ${}{\mathcal {G}}{\left(\emptyset \right)}=0$, also die triviale Gruppe ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}{\mathcal {F}}$ eine Prägarbe auf ${}X$. Zeige, dass durch die Zuordnung

$U\mapsto \prod _{P\in U}{\mathcal {F}}_{P}$

(die Produktmenge aus allen Halmen zu ${}U$) mit den natürlichen Projektionen eine Prägarbe gegeben ist, und dass es einen natürlichen Prägarbenhomomorphismus von ${}{\mathcal {F}}$ in diese Prägarbe gibt.

Aufgabe *

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe auf ${}X$ und ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ eine Untergarbe. Es sei ${}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}$ mit ${}t_{P}\in {\mathcal {F}}_{P}$ für alle ${}P\in X$. Zeige ${}t\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}$.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche und ${}P\in X$ ein Punkt. Wir definieren zu einer offenen Menge ${}U\subseteq X$

${}{\mathcal {I}}(U):={\left\{f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\mid f(P)=0,{\text{ falls }}P\in U\right\}}\,.$

1. Zeige, dass ${}{\mathcal {I}}$ eine Untergarbe von kommutativen Gruppen der Strukturgarbe der holomorphen Funktionen auf ${}X$ ist.
2. Zeige, dass zu ${}g\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ und ${}f\in {\mathcal {I}}{\left(U\right)}$ auch ${}fg\in {\mathcal {I}}{\left(U\right)}$ ist.
3. Zeige, dass für die Halme

   ${}{\mathcal {I}}_{Q}={\mathcal {O}}_{X,Q}\,$

   für alle Punkte ${}Q\neq P$ gilt.

4. Zeige, dass

   ${}{\mathcal {I}}_{P}\subseteq {\mathcal {O}}_{X,P}={\mathbb {C} }\{\{Z\}\}\,$

   gleich dem von der Variablen ${}Z$ erzeugten Ideal im Ring der konvergenten Potenzreihen ist (vergleiche Lemma 10.12).

5. Es sei ${}X$ nun kompakt und zusammenhängend. Bestimme ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}$.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und es sei ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Zeige, dass durch ${}{\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}(U):=\operatorname {kern} \varphi _{U}$ eine Garbe von Gruppen auf ${}X$ definiert ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und es sei ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann injektiv ist, wenn ${}\operatorname {kern} \varphi$ die Nullgarbe ist.

Die Vergarbung einer konstanten Prägarbe nennt man lokal konstante Garbe und manchmal auch einfach konstante Garbe.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {F}}$ eine konstante Prägarbe auf einem topologischen Raum ${}X$ zur Menge ${}M$. Zeige, dass der Halm der Vergarbung von ${}{\mathcal {F}}$ in jedem Punkt ${}P\in X$ gleich ${}M$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine diskrete topologische Gruppe und ${}X$ ein topologischer Raum. Es sei ${}{\mathcal {G}}$ die konstante Prägarbe auf ${}X$ zu ${}G$. Zeige, dass die Vergarbung von ${}{\mathcal {G}}$ gleich ${}C^{0}(-,G)$ ist.

Aufgabe *

Zeige, dass auf ${}\mathbb {R}$ die folgenden Prägarben verschieden sind.

1. Die Prägarbe der konstanten Funktionen mit Werten in ${}\mathbb {R}$.
2. Die Garbe der lokal-konstanten Funktionen mit Werten in ${}\mathbb {R}$.
3. Die Garbe der stetigen Funktionen mit Werten in ${}\mathbb {R}$.

Aufgabe

Es sei eine Garbe ${}{\mathcal {G}}$ von kommutativen Gruppen und eine Untergarbe von Gruppen ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ gegeben, und es sei ${}{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}$ die Quotientengarbe. Zeige

${}{\left({\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}\right)}_{P}={\mathcal {G}}_{P}/{\mathcal {F}}_{P}\,$

für jeden Punkt ${}P\in X$.

Aufgabe *

Es sei ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen und ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ einer Untergarbe von Gruppen mit der Quotientengarbe ${}{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Jedes Element ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}\right)}$ wird repräsentiert durch eine Familie ${}(U_{i},g_{i})$, ${}i\in I$, wobei ${}X=\bigcup _{i\in I}$ eine offene Überdeckung ist und ${}g_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {G}}\right)}$ Schnitte sind mit

   ${}g_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}-g_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {F}}\right)}\,,$

   und jede solche Familie liegt ein Element in ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}\right)}$ fest.

2. Zwei solche Familien ${}(U_{i},g_{i})$ ${}(U_{i},h_{i})$ (also zur gleichen Überdeckung) definieren genau dann das gleiche Element in ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}\right)}$, wenn

   ${}g_{i}-h_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {F}}\right)}\,$

   für alle ${}i$ ist.

3. Zwei Familien ${}(U_{i},g_{i})$ und ${}(V_{j},h_{j})$ definieren genau dann das gleiche Element in ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}\right)}$, wenn auf einer (jeder) gemeinsamen Verfeinerung der beiden Überdeckungen die Differenzen zu ${}{\mathcal {F}}$ gehören.

Aufgabe

Es sei eine Garbe ${}{\mathcal {G}}$ von kommutativen Gruppen und eine Untergarbe von Gruppen ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ gegeben. Zeige, dass es einen kanonischen surjektiven Garbenhomomorphismus von kommutativen Gruppen

${\mathcal {G}}\longrightarrow {\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall. Wir betrachten die kurze exakte Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,\mathbb {R} )\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {Abb} \,{\left(-,\mathbb {R} \right)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {Abb} \,{\left(-,\mathbb {R} \right)}/C^{0}(-,\mathbb {R} )\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

auf ${}I$. Es sei ${}I=U\cup V$ eine Überdeckung mit (in ${}I$) offenen Intervallen und es sei ein globaler Schnitt in der Quotientengarbe ${}\operatorname {Abb} \,{\left(-,\mathbb {R} \right)}/C^{0}(-,\mathbb {R} )$ gegeben, der durch Schnitte ${}s\in \operatorname {Abb} \,{\left(U,\mathbb {R} \right)}$ und ${}t\in \operatorname {Abb} \,{\left(V,\mathbb {R} \right)}$ repräsentiert werde. Zeige, dass dieser Schnitt durch eine Abbildung ${}r\in \operatorname {Abb} \,{\left(I,\mathbb {R} \right)}$ repräsentiert wird.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche, ${}P\in X$ ein Punkt und sei ${}{\mathcal {I}}$ die in Aufgabe 11.11 konstruierte Untergarbe der Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$. Bestimme die Quotientengarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}$.

Tipp: Siehe Aufgabe 11.6.

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ fixiert, wir betrachten das komplexe Potenzieren

${\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,z\longmapsto z^{n},$

das ein Gruppenhomomorphismus bezüglich der multiplikativen Gruppe ist und dessen Kern die Gruppe ${}E_{n}$ der ${}n$-ten Einheitswurzeln ist. Nach Beispiel 6.2 ist die Abbildung ferner eine Überlagerung ist. Definiere auf einer riemannschen Fläche ${}X$ analog zu Beispiel 11.14 eine Garbenversion zu diesen Gruppen und Gruppenhomomorphismen.