Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 12
- Aufgaben
Es sei , . Wir betrachten die kurze exakte Sequenz
Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz
führt.
Es sei
ein injektiver Gruppenhomomorphismus und
die zugehörige kurze exakte Sequenz. Zeige, dass dies zu einer exakten Sequenz
führt, wobei die Abbildung rechts nicht surjektiv sein muss.
Die nächste Aufgabe beruht auf
dem Elementarteilersatz.
Es sei
ein injektiver Gruppenhomomorphismus und
die zugehörige kurze exakte Sequenz, wobei endlich ist. Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz
führt, wobei isomorph zu ist.
Es seien und Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum und sei
ein Garbenhomomorphismus. Zeige, dass genau dann injektiv ist, wenn
exakt ist.
Es seien und Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum und sei
ein Garbenhomomorphismus. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn
exakt ist.
Es sei
eine kurze exakte Sequenz von kommutativen topologischen Gruppen (mit stetigen Gruppenhomomorphismen). Es trage die induzierte Topologie von und die Surjektion habe die Eigenschaft, dass es zu jedem Element eine offene Umgebung und einen stetigen Schnitt zu gibt. Zeige, dass dann für jeden topologischen Raum die zugehörige Sequenz der Garben der stetigen Abbildungen in diese Gruppen, also
ebenfalls exakt.
Es seien und kommutative topologische Gruppen und es sei ihre Produktgruppe (versehen mit der Produkttopologie) und es sei
die zugehörige kurze exakte Sequenz. Zeige, dass zu jedem topologischen Raum eine kurze exakte Garbensequenz
vorliegt, für die die globale Auswertung hinten stets surjektiv ist.
Zeige, dass eine kurze exakte Sequenz
von topologischen Gruppen mit vorliegt. Wende darauf Lemma 12.2 an.
Es sei
eine kurze exakte Sequenz von kommutativen Gruppen, die wir alle mit der diskreten Topologie versehen. Zeige, dass dann für jeden topologischen Raum die zugehörige Sequenz der Garben der stetigen Abbildungen in diese Gruppen (also die lokal konstanten Abbildungen), also
ebenfalls exakt. Zeige ferner, dass in diesem Fall für jede offenen Teilmenge die Sequenz
exakt ist.
Es sei ein einpunktiger topologischer Raum und sei eine Garbe auf . Bestimme den Ausbreitungsraum zu .
Zeige, dass der Ausbreitungsraum zur Garbe der stetigen reellwertigen Funktionen auf kein Hausdorffraum ist.
Es sei eine diskrete kommutative Gruppe, es sei ein lokal zusammenhängender topologischer Raum und sei
die Garbe der stetigen Funktion auf mit Werten in . Zeige, dass der Ausbreitungsraum zu eine triviale Überlagerung mit der Faser ist.
Es sei eine Überlagerung und lokal zusammenhängend. Es sei die Garbe der stetigen Schnitte in auf . Zeige, dass der Ausbreitungsraum zu mit übereinstimmt.
Es sei eine Untergarbe. Zeige, dass der Ausbreitungsraum zu in natürlicher Weise ein Unterraum des Ausbreitungsraumes von ist.
Zeige, dass der Ausbreitungsraum zur Garbe der holomorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche keine Überlagerung ist.
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