- Aufgaben
Es sei
, .
Wir betrachten die
kurze exakte Sequenz
-
Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz
-
führt.
Es sei
-
ein
injektiver
Gruppenhomomorphismus
und
-
die zugehörige
kurze exakte Sequenz.
Zeige, dass dies zu einer exakten Sequenz
-
führt, wobei die Abbildung rechts nicht surjektiv sein muss.
Die nächste Aufgabe beruht auf
dem Elementarteilersatz.
Es sei
-
ein
injektiver
Gruppenhomomorphismus
und
-
die zugehörige
kurze exakte Sequenz,
wobei endlich ist. Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz
-
führt, wobei
isomorph
zu ist.
Es sei
-
eine
kurze exakte Sequenz
von kommutativen
topologischen Gruppen
(mit stetigen Gruppenhomomorphismen).
Es trage die
induzierte Topologie
von und die Surjektion
habe die Eigenschaft, dass es zu jedem Element
eine offene Umgebung
und einen
stetigen Schnitt
zu gibt. Zeige, dass dann für jeden
topologischen Raum
die zugehörige Sequenz der Garben der stetigen Abbildungen in diese Gruppen, also
-
ebenfalls
exakt.
Es seien
und
kommutative
topologische Gruppen
und es sei
ihre
Produktgruppe
(versehen mit der
Produkttopologie)
und es sei
-
die zugehörige kurze exakte Sequenz. Zeige, dass zu jedem
topologischen Raum
eine
kurze exakte Garbensequenz
-
vorliegt, für die die globale Auswertung hinten stets surjektiv ist.
Zeige, dass eine
kurze exakte Sequenz
-
von
topologischen Gruppen
mit
vorliegt. Wende darauf
Lemma 12.2
an.
Es sei
-
eine
kurze exakte Sequenz
von kommutativen
Gruppen,
die wir alle mit der
diskreten Topologie
versehen. Zeige, dass dann für jeden
topologischen Raum
die zugehörige Sequenz der Garben der stetigen Abbildungen in diese Gruppen
(also die lokal konstanten Abbildungen), also
-
ebenfalls
exakt.
Zeige ferner, dass in diesem Fall für jede offenen Teilmenge
die Sequenz
-
exakt ist.
Interpretiere
Aufgabe 12.9
für die kurze exakte Sequenz
-
und einen
topologischen Raum
.