Topologische Gruppen/Spaltende Sequenz/Garbenversion/Aufgabe

Es seien ${}F$ und ${}H$ kommutative topologische Gruppen und es sei ${}G=F\times H$ ihre Produktgruppe (versehen mit der Produkttopologie) und es sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,F\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,G\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,H\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

die zugehörige kurze exakte Sequenz. Zeige, dass zu jedem topologischen Raum ${}X$ eine kurze exakte Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,F)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,G)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,C^{0}(-,H)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vorliegt, für die die globale Auswertung hinten stets surjektiv ist.

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