Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 13

Aufgaben

Aufgabe

Es seien ${}x,y\in \mathbb {R}$ Punkte und sei ${}f$ ein reellwertiger stetiger Keim in ${}x$ und ${}g$ ein stetiger Keim in ${}y$. Zeige, dass bei ${}x\neq y$ die beiden Keime miteinander verbunden sind, und dass bei ${}x=y$ die beiden Keime nur dann verbunden sind, wenn sie gleich sind.

Aufgabe

Zeige, dass für zwei Punkte ${}P,Q\in X$ auf einer riemannschen Fläche ein holomorpher Keim in ${}P$ höchstens mit einem holomorphen Keim in ${}Q$ verbunden ist.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung zwischen den topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ mit ${}X$ lokal wegzusammenhängend. Es seien ${}x_{1},x_{2}\in X$ Punkte mit Urbildpunkten ${}y_{1},y_{2}\in Y$. Es sei ${}{\mathcal {S}}$ die Garbe der stetigen Schnitte auf ${}X$ mit Werten in ${}Y$ und seien ${}s_{1}$ bzw. ${}s_{2}$ die Keime von ${}{\mathcal {S}}$ in ${}x_{1}$ bzw. ${}x_{2}$, die den Werten ${}y_{1}$ bzw. ${}y_{2}$ entsprechen (vergleiche Aufgabe 10.6).

1. Zeige, dass ${}s_{1}$ und ${}s_{2}$ genau dann verbunden sind, wenn es eine zusammenhängende offene Teilmenge ${}x_{1},x_{2}\in U\subseteq X$ und einen stetigen Schnitt ${}s\colon U\rightarrow Y$ mit ${}s(x_{1})=y_{1}$ und ${}s(x_{2})=y_{2}$ gibt.
2. Zeige, dass ${}s_{1}$ und ${}s_{2}$ genau dann schrittweise verbunden sind, wenn es einen stetigen Weg

   $\gamma \colon [0,1]\longrightarrow Y$

   mit ${}\gamma (0)=y_{1}$ und ${}\gamma (1)=y_{2}$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}P\in X$ ein Punkt einer riemannschen Fläche ${}X$ und sei ${}f$ ein konstanter Funktionskeim in ${}P$. Zeige, dass die analytische Fortsetzung von ${}f$ längs eines Weges ebenfalls konstant mit dem gleichen Wert ist.

Aufgabe *

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche und sei ${}f$ eine holomorphe Funktion auf ${}X$. Zeige, dass der Funktionskeim ${}f_{Q}$ zu einem Punkt ${}Q\in X$ nur zu einem Funktionskeim ${}f_{P}$ (in einem Punkt ${}P\in X$) analytisch fortgesetzt werden kann.

Aufgabe

Der holomorphe Funktionskeim ${}f$ im Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$ gehe aus dem holomorphen Funktionskeim ${}g$ im Punkt ${}Q\in {\mathbb {C} }$ durch analytische Fortsetzung längs eines Weges ${}\gamma$ hervor. Zeige, dass dann auch die Ableitung ${}f'$ durch analytische Fortsetzung längs ${}\gamma$ aus ${}g'$ hervorgeht.

Aufgabe

Wir betrachten die Funktion ${}f(z)={\frac {1}{z}}$ auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ und die Parametrisierung

$[0,2\pi ]\longrightarrow S^{1}\subseteq {\mathbb {C} },\,t\longmapsto e^{{\mathrm {i} }t}=\cos t+{\mathrm {i} }\sin t,$

des komplexen Einheitskreises.

1. Bestimme die Potenzreihen von ${}f$ in den Punkten ${}1,{\mathrm {i} },-1,-{\mathrm {i} }$. Diese Reihen seien ${}f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}$. Was ist ihr Konvergenzradius?
2. Bestimme für die Potenzreihen ${}f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}$ aus (1) Stammreihen ${}g_{1},g_{2},g_{3},g_{4}$. Dabei sollen die Reihen ${}g_{i}$ und ${}g_{i+1}$ für ${}i=1,2,3$ in ihren Übergangsbereichen übereinstimmen.
3. Zeige, dass ${}g_{4}$ und ${}g_{1}$ in ihrem Übergangsbereich nicht übereinstimmen.
4. Bestimme eine Stammreihe ${}g_{5}$ von ${}f_{1}$, die mit ${}g_{4}$ auf dem Übergangsbereich übereinstimmt.
5. Zeige, dass der Funktionskeim ${}g_{5}$ aus dem Funktionskeim ${}g_{1}$ durch analytische Fortsetzung längs ${}\gamma$ hervorgeht.

Aufgabe

Bestimme in der Potenzreihenentwicklung ${}\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}(Z-1)^{n}$ mit Entwicklungspunkt ${}1$ der Quadratwurzel von ${}Z$ mit dem konstanten Koeffizienten ${}c_{0}=1$ die Koeffizienten ${}c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}$. Wie lautet die Antwort bei ${}c_{0}=-1$?

Aufgabe

Bestimme in der Potenzreihenentwicklung ${}\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}(Z-{\mathrm {i} })^{n}$ mit Entwicklungspunkt ${}{\mathrm {i} }$ der Quadratwurzel von ${}Z$ mit dem konstanten Koeffizienten ${}c_{0}={\frac {1+{\mathrm {i} }}{\sqrt {2}}}$ die Koeffizienten ${}c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}$. Wie lautet die Antwort bei ${}c_{0}=-{\frac {1+{\mathrm {i} }}{\sqrt {2}}}$?

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ fixiert. Es sei ${}a\in {\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ und sei eine Potenzreihe ${}f$ mit Entwicklungspunkt ${}a$ gegeben, die eine ${}n$-te Wurzel beschreibt, es sei also

${}f=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(z-a)^{k}\,$

mit ${}f^{n}=z$. Zeige, dass die analytische Fortsetzung zu ${}f$ (aufgefasst als holomorpher Funktionskeim) aus Lemma 13.14 mit der ${}n$-ten Potenzüberlagerung aus Beispiel 6.2 übereinstimmt.