Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 14

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Untersuche das Nullstellengebilde zu einem Polynom der Form ${}T^{n}$.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Bestimme das Nullstellengebilde zu einem Polynom über ${}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ für den Fall, dass die holomorphen Funktionen konstant sind.

Aufgabe *

Bestimme, ob das Polynom ${}T^{2}-\exp z\in \Gamma {\left({\mathbb {C} },{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} }\right)}[T]$ irreduzibel ist. Skizziere das zugehörige reelle Nullstellengebilde.

Aufgabe

Beweise Lemma 14.2  (4) unter der schwächeren Bedingung, dass ${}X$ zusammenhängend ist und dass ${}P$ und ${}P'$ keinen gemeinsamen nichtkonstanten Faktor besitzen.

Aufgabe *

Bestimme die Resultante von einem quadratischen Polynom ${}aT^{2}+bT+c$ und seiner formalen Ableitung ${}2aT+b$.

Aufgabe

Bestimme für das Polynom ${}P=T^{2}+z$, wobei ${}z$ die Variable von ${}{\mathbb {C} }$ bezeichne, die Faseranzahl im Nullstellengebilde ${}V$ zu ${}P$. Bestimme das unverzweigte Nullstellengebilde und das glatte Nullstellengebilde.

Aufgabe

Bestimme für das Polynom ${}P=T^{2}+zT-z^{3}$, wobei ${}z$ die Variable von ${}{\mathbb {C} }$ bezeichne, die Faseranzahl im Nullstellengebilde ${}V$ zu ${}P$. Bestimme das unverzweigte Nullstellengebilde und das glatte Nullstellengebilde.

Aufgabe

Bestimme für das Polynom ${}P=T^{2}-(z+z^{2})T+z^{3}$, wobei ${}z$ die Variable von ${}{\mathbb {C} }$ bezeichne, die Faseranzahl im Nullstellengebilde ${}V$ zu ${}P$. Bestimme das unverzweigte Nullstellengebilde und das glatte Nullstellengebilde. Ist ${}P$ irreduzibel?

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche, seien ${}a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}$ holomorphe Funktionen auf ${}X$ und sei ${}V\subseteq X\times {\mathbb {C} }$ das Nullstellengebilde zu ${}P=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}$. Es sei ${}\beta$ eine weitere holomorphe Funktion auf ${}X$. Es sei ${}Q$ das Polynom in der neuen Variablen ${}S$, das entsteht, wenn man in ${}P$ die Variable ${}T$ durch ${}S-\beta$ ersetzt und sei ${}W$ das zugehörige Nullstellenmenge zu ${}Q$.

1. Stifte eine bijektive Abbildung ${}\theta$ zwischen ${}V$ und ${}W$, die mit den Projektionen nach ${}X$ verträglich ist.
2. Zeige, dass unter ${}\theta$ die unverzweigten Nullstellengebilde ineinander überführt werden.
3. Zeige, dass unter ${}\theta$ die glatten Nullstellengebilde ineinander überführt werden und dass darauf ${}\theta$ biholomorph ist.

Aufgabe

Bestimme in Beispiel 14.9 die Fortsetzung des unverzweigten Nullstellengebildes ${}{\tilde {V}}\rightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ nach ${}{\mathbb {C} }$ und nach ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ im Sinne von Satz 14.11.

Aufgabe

Bestimme in Beispiel 14.10 die Fortsetzung des unverzweigten Nullstellengebildes ${}{\tilde {V}}\rightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ nach ${}{\mathbb {C} }$ und nach ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ im Sinne von Satz 14.11.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche und ${}P$ ein normiertes Polynom über ${}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ mit dem unverzweigten Nullstellengebilde ${}{\tilde {V}}$ und der zugehörigen Fortsetzung ${}Z\rightarrow X$ im Sinne von Satz 14.11. Zeige, dass das glatte Nullstellengebilde zu ${}P$ eine offene Teilmenge von ${}Z$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche und ${}P$ ein normiertes Polynom über ${}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ mit dem unverzweigten Nullstellengebilde ${}{\tilde {V}}$ und der zugehörigen Fortsetzung ${}Z\rightarrow X$ im Sinne von Satz 14.11. Zeige, dass wenn ${}P$ nicht irreduzibel ist, dann ${}Z$ nicht zusammenhängend ist.

Aufgabe

Zeige, dass in der Situation von Satz 14.11 eine Überlagerung ${}p\colon Y\rightarrow X$ im Allgemeinen nicht zu einer Überlagerung fortgesetzt werden kann.

Aufgabe

Zeige in der Situation von Lemma 14.13, dass bei ${}k=3$ die Homogenisierung des Polynoms ${}w^{2}-f$ eine riemannsche Fläche in ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ definiert und die Fortsetzung beschreibt.

Aufgabe

Zeige in der Situation von Lemma 14.13, dass bei ${}k\geq 4$ die Homogenisierung des Polynoms ${}w^{2}-f$ keine riemannsche Fläche in ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ definiert.