Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Nullstellengebilde/Einfache Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche, seien ${}a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}$ holomorphe Funktionen auf ${}X$ und sei ${}V\subseteq X\times {\mathbb {C} }$ das Nullstellengebilde zu ${}P=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}$. Es sei ${}p\colon V\rightarrow X$ die Projektion auf ${}X$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die Faser zu ${}x\in X$ ist die Menge der Nullstellen des komplexen Polynoms ${}T^{n}+a_{n-1}(x)T^{n-1}+\cdots +a_{1}(x)T+a_{0}$.
2. Zu jedem ${}x\in X$ besteht ${}p^{-1}(x)\subseteq V$ aus höchstens ${}n$ Punkten.
3. Die Projektion

   $p\colon V\longrightarrow X$

   ist surjektiv und endlich.

4. Es sei ${}X$ zusammenhängend und ${}P$ irreduzibel. Dann ist die Menge der Punkte ${}x\in X$, für die ${}p^{-1}(x)$ aus weniger als ${}n$ Punkten besteht, eine diskrete Teilmenge von ${}X$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen