Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Nullstellengebilde/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Dies ist klar, da man den Einsetzungsprozess in zwei Schritte aufteilen kann.
2. Dies folgt aus (1) und Fakt.
3. Der erste Teil folgt aus (1) und dem Fundamentalsatz der Algebra. Der zweite Teil ergibt sich mit einem ähnlichen Argument wie im Beweis zu Fakt.
4. Dies folgt aus der Resultantentheorie, insbesondere Fakt angewendet auf ${}P$ und ${}P'$. Da die Koeffizientenfunktionen holomorph sind, ist die Resultante eine holomorphe Funktion auf ${}X$, die wegen der Irreduzibilität ${}\neq 0$. Außerhalb deren Nullstellenmenge hat ${}P(x,-)$ keine mehrfache Nullstelle. Die Nullstellenmenge einer holomorphen Funktion ist diskret nach Fakt.

Zur bewiesenen Aussage