Riemannsche Fläche/Nullstellengebilde/Polynom/Verschiebung/Aufgabe

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche, seien ${}a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}$ holomorphe Funktionen auf ${}X$ und sei ${}V\subseteq X\times {\mathbb {C} }$ das Nullstellengebilde zu ${}P=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}$. Es sei ${}\beta$ eine weitere holomorphe Funktion auf ${}X$. Es sei ${}Q$ das Polynom in der neuen Variablen ${}S$, das entsteht, wenn man in ${}P$ die Variable ${}T$ durch ${}S-\beta$ ersetzt und sei ${}W$ das zugehörige Nullstellenmenge zu ${}Q$.

1. Stifte eine bijektive Abbildung ${}\theta$ zwischen ${}V$ und ${}W$, die mit den Projektionen nach ${}X$ verträglich ist.
2. Zeige, dass unter ${}\theta$ die unverzweigten Nullstellengebilde ineinander überführt werden.
3. Zeige, dass unter ${}\theta$ die glatten Nullstellengebilde ineinander überführt werden und dass darauf ${}\theta$ biholomorph ist.

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