Riemannsche Fläche/C/Hyperelliptische Gleichung/Fortsetzung/Fakt

Es sei ${}f\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein Polynom ohne mehrfache Nullstelle vom Grad ${}k\neq 1$ und sei ${}Y={\left\{(z,w)\mid w^{2}=f(z)\right\}}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ die zugehörige riemannsche Wurzelfläche mit der Projektion ${}p\colon Y\longrightarrow {\mathbb {C} }$, ${}(z,w)\longmapsto z$. Es sei ${}{\tilde {Y}}$ die zugehörige hyperelliptische riemannsche Fläche mit der Projektion

${\tilde {p}}\colon {\tilde {Y}}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$

Dann liegen über dem unendlich fernen Punkt ${}\infty \in {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ bei ${}k$ ungerade ein Punkt und ${}{\tilde {p}}$ verzweigt darin mit der Verzweigungsordnung ${}2$ und bei ${}k$ gerade zwei Punkte, in denen ${}{\tilde {p}}$ unverzweigt ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen