Riemannsche Fläche/Holomorpher Funktionskeim/Ausbreitungsraum/Zusammenhangskomponente/Fakt

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche, ${}P\in X$ und ${}f\in {\mathcal {O}}_{X,P}$ ein holomorpher Funktionskeim. Dann besitzt diejenige Zusammenhangskomponente ${}Z$ des Ausbreitungsraumes ${}E$ zur Strukturgarbe, die den Punkt ${}(P,f)$ enthält, folgende Eigenschaften.

1. Es gibt eine holomorphe Funktion ${}g\colon Z\rightarrow {\mathbb {C} }$, die den Keim ${}f$ (aufgefasst in ${\mathcal {O}}_{Z,(P,f)}$) fortsetzt.
2. Das Bild von

   $Z\longrightarrow X$

   besteht aus allen Punkten ${}Q\in X$, für die es eine analytische Fortsetzung von ${}f$ zu einem Keim in ${}Q$ gibt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen