Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 18/latex
\setcounter{section}{18}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
\maabb {f} {U} {{\mathbb C}
} {}
auf einem
\definitionsverweis {Gebiet}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $f$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann eine Nullstelle der Ordnung $k$ besitzt, wenn $f^{-1}$ in $a$ einen Pol der Ordnung $k$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass zu einer
\definitionsverweis {meromorphen Funktion}{}{}
\maabb {f} {U} {{\mathbb C}
} {}
auf einer
\definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
$f'$ meromorph ist. Was passiert dabei mit der Polstellenordnung in einem Punkt?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subset }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {diskrete Teilmenge}{}{}
und
\maabb {f} {X \setminus D } { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.}
Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{$f$ ist eine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{.}
}{Für jedes Kartengebiet
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die holomorphe Funktion
\maabb {f {{|}}_{(X \setminus D) \cap U } \circ \alpha^{-1} {{|}}_{ \alpha (U) \setminus \alpha (D \cap U) }} { \alpha (U) \setminus \alpha (D \cap U) } { {\mathbb C}
} {}
\definitionsverweis {meromorph}{}{.}
}{Es gibt eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit Kartengebieten $U_i$ derart, dass die holomorphen Funktionen
\maabb {f {{|}}_{(X \setminus D) \cap U_i } \circ \alpha_i^{-1} {{|}}_{ \alpha_i (U_i) \setminus \alpha_i (D \cap U_i) }} { \alpha_i (U_i) \setminus \alpha_i (D \cap U_i) } { {\mathbb C}
} {}
meromorph sind.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Teilmenge. Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Die Einschränkung einer
\definitionsverweis {meromorphen Funktion}{}{}
$f$ von $X$ auf $U$ ist meromorph.
}{Die Zuordnung
\mathl{U \mapsto { \mathcal M } { \left( U \right) }}{} ist eine
\definitionsverweis {Garbe von kommutativen Gruppen}{}{}
auf $X$.
}{Wenn
\mathkor {} {X} {und} {U} {}
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{}
sind, so liegt eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\maabbeledisp {} { { \mathcal M } { \left( X \right) } } { { \mathcal M } { \left( U \right) }
} {f} {f {{|}}_U
} {,}
vor.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme zur
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
${ \mathcal M }$ der
\definitionsverweis {meromorphen Funktionen}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
$X$ den
\definitionsverweis {Halm}{}{}
${ \mathcal M }_P$ in einem beliebigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
Zur folgenden Aufgabe vergleiche Aufgabe 1.11.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ U { \left( 0,r \right) }
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Kreisscheibe und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ U \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $f$ eine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
auf $V$ und seien $\alpha_0 , \ldots , \alpha_{d-1}$ meromorphe Funktionen auf $U$. Es erfülle $f$ die Ganzheitsgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^d + \alpha_{d-1} f^{d-1} + \cdots + \alpha_2f^2+ \alpha_1 f+\alpha_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf $V$. Zeige, dass $f$ auf ganz $U$ meromorph ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{ X \setminus D
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Komplement einer
\definitionsverweis {diskreten Teilmenge}{}{}
$D$. Es sei $f$ eine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
auf $V$ und seien $\alpha_0 , \ldots , \alpha_{d-1}$ meromorphe Funktionen auf $X$. Es erfülle $f$ die Ganzheitsgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^d + \alpha_{d-1} f^{d-1} + \cdots + \alpha_2f^2+ \alpha_1 f+\alpha_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf $V$. Zeige, dass $f$ auf ganz $X$ meromorph ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {komplexe Exponentialfunktion}{}{}
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb C}
}
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
keinen sinnvollen Limes im unendlich fernen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \infty
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt und die Exponentialfunktion insbesondere keine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
auf der projektiven Geraden ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die reelle Exponentialfunktion \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {e^x } {,} keine rationale Funktion ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Formuliere und beweise eine Version von Satz 18.6 für den Fall, dass $X$ nicht \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
und $f$ eine nichtkonstante
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
auf $X$ mit der zugehörigen
\definitionsverweis {holomorphen Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {X} { {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }
} {}
im Sinne von
Satz 18.6.
Zeige, dass die über die
\definitionsverweis {Laurent-Entwicklungen}{}{}
definierte
\definitionsverweis {Gesamtpolstellenordnung}{}{}
von $f$ mit der
\definitionsverweis {Gesamtnullstellenordnung}{}{}
von $f^{-1}$ und mit der über das
\definitionsverweis {Verzweigungsverhalten}{}{}
definierten
\definitionsverweis {Gesamtordnung}{}{}
\mathl{\sum_{ x \in \varphi^{-1}( \infty)} \operatorname{Verz} { \left( x {{|}} \infty \right) }}{} übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Hauptteilverteilung}{}{}
zur
\definitionsverweis {meromorphen Funktion}{}{}
\mathl{{ \frac{ z^3 }{ (z-2)^2 } }}{} auf ${\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Hauptteilverteilung}{}{}
zur
\definitionsverweis {meromorphen Funktion}{}{}
\mathl{{ \frac{ z-1 }{ (z-3)z^2 } }}{} auf ${\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Hauptteilverteilungen}{}{} auf einer \definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{} $X$ eine \definitionsverweis {Garbe von kommutativen Gruppen}{}{} bilden.
}
{} {}
Eine
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
${ \mathcal G }$ auf einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$ heißt
\definitionswort {welk}{,}
wenn für offene Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Einschränkungsabbildungen
\maabbdisp {} { { \mathcal G } { \left( V \right) } } { { \mathcal G } { \left( U \right) }
} {}
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
sind.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${ \mathcal G }$ eine
\definitionsverweis {welke Garbe}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$. Zeige, dass für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jede
\definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abbildung
\maabbdisp {} { \Gamma { \left( U, { \mathcal G } \right) } } { { \mathcal G }_P
} {}
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei ${ \mathcal T }$ die
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
der
\definitionsverweis {Hauptteilverteilungen}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
$X$. Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungzwei {${ \mathcal T }$ ist im Allgemeinen nicht
\definitionsverweis {welk}{}{.}
} {Für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jede offene Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Abbildung
\maabbdisp {} { \Gamma { \left( U, { \mathcal T } \right) } } { { \mathcal T }_P
} {}
surjektiv.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass auf ${\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }$ die \definitionsverweis {meromorphe Differentialform}{}{} ${ \frac{ dz }{ z } }$ nicht die Form $df$ mit einer \definitionsverweis {meromorphen Funktion}{}{} $f$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise Korollar 18.7 mit dem Residuensatz.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass auf einer
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
eine
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
von
\definitionsverweis {Garben}{}{}
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \Omega_X \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, { \mathcal M^{(1)} } \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { \mathcal T^{(1)} } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
vorliegt.
}
{} {}