Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 21/latex
\setcounter{section}{21}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
eines
\definitionsverweis {topologischen Raumes}{}{}
$X$ und sei ${ \mathcal G }$ eine
\definitionsverweis {Garbe von kommutativen Gruppen}{}{}
auf $X$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \check{H}^{ 0 } ( U_i, i \in I , { \mathcal G } )
}
{ =} { \Gamma { \left( X, { \mathcal G } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
eines
\definitionsverweis {topologischen Raumes}{}{}
$X$ und sei ${ \mathcal G }$ eine
\definitionsverweis {Garbe von kommutativen Gruppen}{}{}
auf $X$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ \check{C}^{ k } ({ U_i }, { \mathcal G } )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Čech-Kozykel}{}{,}
der für ein bestimmtes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J
}
{ = }{\{ i_0, i_1 , \ldots , i_k\}
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den Wert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \Gamma { \left( U_J, { \mathcal G } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und für alle anderen $(k+1)$-elementigen Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J'
}
{ \neq }{J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den Wert $0$ besitzt. Bestimme
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta(s)
}
{ \in }{\check{C}^{ k+1 } ({ U_i }, { \mathcal G } )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Čech-Komplex}{}{} in der Tat ein \definitionsverweis {Komplex}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten auf dem Kreis $S^1$ die Überdeckung mit drei offenen
\zusatzklammer {zu reellen Intervallen
\definitionsverweis {homöomorphen}{}{}} {} {}
Kreissegmenten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S^1
}
{ = }{ U_1 \cup U_2 \cup U_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
deren Durchschnitte $U_i \cap U_j$ Intervalle seien. Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {diskrete}{}{}
\definitionsverweis {topologische Gruppe}{}{}
und ${ \mathcal G }$ die Garbe der lokal konstanten $G$-wertigen Funktionen auf dem Kreis. Bestimme
\mathl{\check{H}^{ 1 } ( U_1,U_2,U_3, { \mathcal G } )}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ A \cup B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Vereinigung von zwei Kreisen, die sich in einem Punkt $P$ treffen
\zusatzklammer {also eine \anfuehrung{Acht}{}} {} {.}
Wir betrachten die offene Überdeckung $U_1,U_2,U_3$ von $X$, wobei $U_1$ eine offener Dreiviertelkreis von $A$ ist, der $P$ nicht enthält, wobei $U_2$ ein offener Dreiviertelkreis von $B$ ist, der $P$ nicht enthält, und wobei $U_3$ den Punkt $P$ enthält und von beiden Kreisen einen offenen Halbkreis ausschneidet. Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {diskrete}{}{}
\definitionsverweis {topologische Gruppe}{}{}
und ${ \mathcal G }$ die Garbe der lokal konstanten $G$-wertigen Funktionen auf $X$. Bestimme
\mathl{\check{H}^{ 1 } ( U_1,U_2,U_3, { \mathcal G } )}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Auf der Kugeloberfläche $S^2$ fixieren wir ein \anfuehrung{Dreieck}{,} etwa eines, das ein Achtel der Oberfläche einnimmt. Es seien $K_1,K_2,K_3$ die Kanten des Dreieckes. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U_i
}
{ =} { S^2 \setminus K_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {homöomorph}{}{}
zum $\R^2$, der Durchschnitt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U_1 \cap U_2
}
{ =} { S^2 \setminus { \left( K_1 \cup K_2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist ebenfalls homöomorph zum $\R^2$, dagegen zerfällt der Dreierdurchschnitt
\mathl{U_1 \cap U_2 \cap U_3}{} in zwei Teile, nämlich das offene innere Dreieck und die offene Restfläche, die beide homöomorph zum $\R^2$ sind. Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {diskrete}{}{}
\definitionsverweis {topologische Gruppe}{}{}
und ${ \mathcal G }$ die zugehörige
\definitionsverweis {Garbe der lokal konstanten Funktionen}{}{}
mit Werten in $G$. Bestimme den
\definitionsverweis {Čech-Komplex}{}{}
zu dieser Überdeckung und berechne
\mathkor {} {\check{H}^{ 1 } ( U_i, { \mathcal G } )} {und} {\check{H}^{ 2 } ( U_i, { \mathcal G } )} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten einen Torus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X
}
{ \cong} {S^1 \times S^1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und darauf einen Kreis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z
}
{ = }{ S^1 \times \{P\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \cong }{ S^1 \times I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein offener Streifen um $Z$ und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ W
}
{ =} { U_1 \cup U_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $U_1,U_2$ homöomorph zu offenen Rechtecken seien und sich an den jeweiligen Enden überlappen
\zusatzklammer {es liegt also um den Kreis eine Verdickung der Situation aus
Beispiel 21.7
vor} {} {.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U_3
}
{ =} { T \setminus Z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Berechne
\mathl{\check{H}^{ 1 } ( U_1,U_2,U_3, { \mathcal G } )}{,} wobei ${ \mathcal G }$ die
\definitionsverweis {Garbe der lokal konstanten Funktionen}{}{}
mit Werten in einer
\definitionsverweis {kommutativen Gruppe}{}{}
$G$ bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine \definitionsverweis {zusammenhängende}{}{} \definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{} und ${ \mathcal L }$ eine \definitionsverweis {invertierbare Untergarbe}{}{} der Garbe der \definitionsverweis {meromorphen Funktionen}{}{} auf $X$. Bestimme eine Beschreibung von ${ \mathcal L }$ als \definitionsverweis {Čech-Kozykel}{}{} von ${\mathcal O}_{ X }^\times$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${ \mathcal G }$ eine
\definitionsverweis {welke Garbe}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \check{H}^{ 1 } ( U_i, i \in I, { \mathcal G } )
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X
}
{ =} { \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ =} { \bigcup_{j \in J} V_j
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offene Überdeckungen}{}{}
eines
\definitionsverweis {topologischen Raumes}{}{}
$X$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ W_{ij}
}
{ \defeq} { U_i \cap V_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Indexmenge $I \times J$ eine gemeinsame
\definitionsverweis {Verfeinerung}{}{}
der beiden Überdeckungen ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und ${ \mathcal G }$ eine
\definitionsverweis {Garbe von kommutativen Gruppen}{}{}
auf $X$. Es sei
\mathbed {U_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
von $X$, die eine
\definitionsverweis {Verfeinerung}{}{}
der offenen Überdeckung
\mathbed {V_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
sei. Zeige, dass die Verfeinerungsabbildung
\maabbdisp {} {\check{H}^{ 1 } ( {\mathfrak V} ,{ \mathcal F } ) } {\check{H}^{ 1 } ( {\mathfrak U} , { \mathcal F } )
} {}
unabhängig von der Indexabbildung
\maabb {\alpha} {I} {J
} {}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei ${ \mathcal G }$ eine
\definitionsverweis {Garbe von kommutativen Gruppen}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$, es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g_{ij}
}
{ \in }{ \Gamma { \left( U_i \cap U_j, { \mathcal G } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Čech-Kozykel}{}{}
zur gegebenen Garbe und Überdeckung. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha, \beta
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g_{\alpha , \beta}
}
{ =} { h_\alpha {{|}}_{U_\alpha \cap U_\beta} - h_\beta {{|}}_{U_\alpha \cap U_\beta}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h_\alpha
}
{ \in }{ \Gamma { \left( U_\alpha, { \mathcal G } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h_\beta
}
{ \in }{ \Gamma { \left( U_\beta, { \mathcal G } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ J
}
{ = }{ I \setminus \{ \alpha, \beta \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ = }{ U_\alpha \cup U_\beta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungvier{Die Familie
\mathbed {U_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
zusammen mit $W$ ist ebenfalls eine offene Überdeckung von $X$.
}{Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \in }{ J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_i
}
{ =} { \begin{cases} g_{i \alpha} + h_\alpha \text{ auf } U_i \cap U_\alpha \, , \\ g_{i \beta}+ h_\beta \text{ auf } U_i \cap U_\beta \, ,\end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wohldefinierte Schnitte aus
\mathl{\Gamma { \left( U_i \cap W, { \mathcal G } \right) }}{.}
}{Die Familie $g_{ij}$,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i,j
}
{ \in }{J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $f_i$ aus
\mathl{\Gamma { \left( U_i \cap W, { \mathcal G } \right) }}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \in }{ J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist ein Kozykel zu ${ \mathcal G }$ zur Überdeckung aus (1).
}{Der Kozykel aus (2) definiert die gleiche erste
\definitionsverweis {Čech-Kohomologieklasse}{}{}
wie der ursprüngliche Kozykel.
}
}
{} {}
In den folgenden Aufgaben beschreiben wir eine Interpretation der ersten Kohomologiegruppe zur Garbe der lokal konstanten Funktionen in einer diskreten Gruppe mit Hilfe von Überlagerungen.
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
\maabb {p} {Y} {X
} {}
heißt eine
\definitionswortpraemath {G}{ Überlagerung }{,}
wenn eine fasertreue
\definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{}
\maabb {} {G \times Y} { Y
} {}
fixiert ist derart, dass es eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt und
$G$-\definitionsverweis {invariante}{}{}
\definitionsverweis {Homöomorphismen}{}{}
\maabbdisp {} { G \times U_i} { p^{-1}(U_i)
} {}
über $U_i$.
In der folgenden Aufgabe wird die triviale $G$-Überlagerung beschrieben.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Zeige, dass $G \times X$, wobei $G$ mit der \definitionsverweis {diskreten Topologie}{}{} versehen wird, in natürlicher Weise eine $G$-\definitionsverweis {Überlagerung}{}{} von $X$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass zwei $G$-\definitionsverweis {Überlagerungen}{}{} \maabb {p_1,p_2} {Y } {X } {} als Überlagerungen isomorph sein können, ohne dass sie als $G$-Überlagerungen isomorph sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,} $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und \maabb {p} {Y} {X } {} eine $G$-\definitionsverweis {Überlagerung}{}{.} Zeige, dass es sich um eine \definitionsverweis {normale Überlagerung}{}{} handelt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,} $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und \maabb {p} {Y} {X } {} eine $G$-\definitionsverweis {Überlagerung}{}{.} Zeige, dass $G$ eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der \definitionsverweis {Decktransformationsgruppe}{}{} ist.
}
{} {}
Ohne weitere Voraussetzung kann bei einer $G$-Überlagerung die Decktransformationsgruppe größer als $G$ sein, wie schon die triviale $G$-Überlagerung zeigt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {p} {Y} {X } {} eine \definitionsverweis {normale Überlagerung}{}{} mit $Y$ \definitionsverweis {hausdorffsch}{}{,} \definitionsverweis {lokal wegzusammenhängend}{}{} und \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{.} Es sei $G$ die \definitionsverweis {Decktransformationsgruppe}{}{.} Zeige, dass $Y$ eine $G$-\definitionsverweis {Überlagerung}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine Primzahl,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ \Z/(p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \Z/(p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ {\mathbb C} ^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir ordnen $k$ eine
$G$-\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
\maabb {p} {Y} {X
} {}
in der folgenden Weise zu: Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so nimmt man die $p$-fache disjunkte Vereinigung von ${\mathbb C} ^{\times}$ und lässt den Erzeuger der Gruppe durch eine zyklische Vertauschung der Kopien operieren.
Wenn $k$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
modulo $p$ ist, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ {\mathbb C} ^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die Abbildung ist die Potenzierung
\mathl{z \mapsto z^{p}}{} und die $G$-Operation ist dadurch gegeben, dass der Erzeuger der Gruppe als Multiplikation mit
\mathl{\zeta^k}{} wirkt, wobei $\zeta$ eine fixierte $p$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{}
ist. Zeige, dass dabei nichtisomorphe $G$-Überlagerungen entstehen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und $G$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Zeige, dass die Menge der $G$-\definitionsverweis {Überlagerungen}{}{} \zusatzklammer {wobei $G$-isomorphe Überlagerungen miteinander identifiziert werden} {} {} in einer natürlichen Bijektion mit der \definitionsverweis {ersten Kohomologiegruppe}{}{} $\check{H}^{ 1 } ( X,G)$, wobei $G$ hier die \definitionsverweis {Garbe der lokal konstanten Funktionen}{}{} mit Werten in $G$ bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} { { \mathcal F } } {{ \mathcal G }
} {}
ein
\definitionsverweis {Homomorphismus}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {Garben von kommutativen Gruppen}{}{}
\mathkor {} {{ \mathcal F }} {und} {{ \mathcal G }} {}
auf $X$. Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungzwei {Zu einer
\definitionsverweis {offenen Überdeckung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es einen natürlichen Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {} {\check{H}^{ 1 } ( U_i , { \mathcal F } ) } { \check{H}^{ 1 } ( U_i , { \mathcal G } )
} {.}
} {Es gibt einen natürlichen Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {} {\check{H}^{ 1 } ( X , { \mathcal F } ) } { \check{H}^{ 1 } ( X , { \mathcal G } )
} {.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { \mathcal F } \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, { \mathcal G } \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, { \mathcal H } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
eine
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
von
\definitionsverweis {Garben von kommutativen Gruppen}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {topologischen Raum}{}{}
$X$. Zeige, dass dann eine lange exakte Sequenz
\mathdisp {0 \longrightarrow \Gamma { \left( X, { \mathcal F } \right) } \longrightarrow \Gamma { \left( X, { \mathcal G } \right) } \longrightarrow \Gamma { \left( X, { \mathcal H } \right) } \stackrel{\delta}{ \longrightarrow } \check{H}^{ 1 } ( X, { \mathcal F } ) \longrightarrow \check{H}^{ 1 } ( X, { \mathcal G } ) \longrightarrow \check{H}^{ 1 } ( X, { \mathcal H } )} { }
vorliegt.
}
{} {}