Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 24/latex
\setcounter{section}{24}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die Situation aus dem Beweis zu
Lemma 24.1
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1,2,3,4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {holomorphe Differentialform}{}{}
${ \frac{ dz }{ z } }$ auf ${\mathbb C} \setminus \{0\}$. Berechne
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta { \left( { \frac{ dz }{ z } } \right) }
}
{ \in }{ H^1( {\mathbb C} \setminus \{0\} , {\mathbb C} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zur kurzen exakten Garbensequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, {\mathbb C} \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, {\mathcal O}_{ {\mathbb C} \setminus \{0\} } \, \stackrel{ d }{\longrightarrow} \, \Omega_{ {\mathbb C} \setminus \{0\} } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
\zusatzklammer {siehe
Lemma 15.8} {} {}
mit Hilfe der lokalen Stammformen aus
Aufgabe 17.5.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Formuliere in der Situation von
Beispiel 24.8
eine explizite reelle Abhängigkeit zwischen den Perioden
\mathl{\int_\gamma \omega, \int_{\theta \circ \gamma} \omega , \int_{\theta^2 \circ \gamma } \omega}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Führe die Überlegungen aus
Beispiel 24.8
für die holomorphe Differentialform
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega_2
}
{ =} { { \frac{ zdz }{ w } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
durch.
}
{} {}