Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 24

Aufgaben

Aufgabe

Skizziere die Situation aus dem Beweis zu Lemma 24.1 für ${}n=1,2,3,4$.

Aufgabe *

Wir betrachten die holomorphe Differentialform ${}{\frac {dz}{z}}$ auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}$. Berechne ${}\delta {\left({\frac {dz}{z}}\right)}\in H^{1}({\mathbb {C} }\setminus \{0\},{\mathbb {C} })$ zur kurzen exakten Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {C} }\setminus \{0\}}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,\Omega _{{\mathbb {C} }\setminus \{0\}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

(siehe Lemma 15.8) mit Hilfe der lokalen Stammformen aus Aufgabe 17.5.

Aufgabe *

Formuliere in der Situation von Beispiel 24.8 eine explizite reelle Abhängigkeit zwischen den Perioden ${}\int _{\gamma }\omega ,\int _{\theta \circ \gamma }\omega ,\int _{\theta ^{2}\circ \gamma }\omega$.

Aufgabe

Führe die Überlegungen aus Beispiel 24.8 für die holomorphe Differentialform

${}\omega _{2}={\frac {zdz}{w}}\,$

durch.