Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 24

Auswertung von holomorphen Differentialformen längs eines Weges

Lemma

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Es sei ${}\omega$ eine holomorphe Differentialform auf ${}X$ mit der zugehörigen Kohomologieklasse ${}\delta (\omega )\in H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ bezüglich der exakten Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

(siehe Lemma 15.8).

Dann ist für jeden geschlossenen Weg ${}\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$

${}\int _{\gamma }\omega =\int _{\gamma }\delta (\omega )\,.$

Beweis

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung mit Kreisscheiben. Auf ${}U_{i}$ besitzt ${}\omega$ eine holomorphe Stammform, also eine holomorphe Funktion ${}h_{i}$ mit ${}dh_{i}=\omega$ auf ${}U_{i}$. Die zugehörige Kohomologieklasse in ${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ wird durch den Čech-Kozykel ${}f_{ij}=h_{j}-h_{i}$ auf ${}U_{ij}=U_{i}\cap U_{j}$ beschrieben. Es sei ${}V_{1},V_{2},\ldots ,V_{n-1},V_{n}=V_{1}$ eine topologische Kette um ${}\gamma$ und es seien ${}P_{k}\in V_{k}\cap V_{k+1}\cap \gamma ([0,1])$ für ${}k=1,\ldots ,n-1$. Wir setzen ferner ${}P_{0}=\gamma (0)=\gamma (1)=P_{n}$. Es sei ${}\gamma _{k}$ der Teilweg, der von ${}P_{k-1}$ nach ${}P_{k}$ führt und somit in ${}U_{\alpha (k)}$ verläuft. Dann ist insgesamt

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\sum _{k=1}^{n}\int _{\gamma _{k}}\omega \\&=\sum _{k=1}^{n}\int _{\gamma _{k}}dh_{\alpha (k)}\\&=\sum _{k=1}^{n}{\left(h_{\alpha (k)}(P_{k})-h_{\alpha (k)}(P_{k-1})\right)}\\&=-h_{\alpha (1)}(P_{0})+\sum _{k=1}^{n-1}{\left(h_{\alpha (k)}(P_{k})-h_{\alpha (k+1)}(P_{k})\right)}+h_{\alpha (n)}(P_{n})\\&=\sum _{k=1}^{n-1}{\left(h_{\alpha (k)}(P_{k})-h_{\alpha (k+1)}(P_{k})\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n-1}f_{\alpha (k+1)\alpha (k)}(P_{k})\\&=\int _{\gamma }\delta (c).\end{aligned}}$

$\Box$

Die Wegintegrale ${}\int _{\gamma }\omega$ hängen nur von der Homotopieklasse des Weges ab. Dies folgt aus Satz 17.7 und für geschlossene Wege auch aus Lemma 24.1 in Verbindung mit Lemma 23.5  (6).

Korollar

Es sei ${}X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche und ${}\omega$ eine holomorphe Differentialform auf ${}X$.

Dann ist ${}\omega$ genau dann exakt, wenn für alle geschlossenen Wege ${}\gamma$ in ${}X$ die Gleichheit

${}\int _{\gamma }\omega =0\,$

gilt.

Beweis

Es sei ${}c=\delta (\omega )\in H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ bezüglich der kurzen exakten Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

(siehe Lemma 15.8). Die Exaktheit von ${}\omega$ bedeutet, dass es eine holomorphe Funktion ${}h$ auf ${}X$ mit ${}\omega =dh$ gibt. Dies ist aufgrund der langen Kohomologiesequenz äquivalent zu

${}\delta (\omega )=0\,.$

Wegen Lemma 24.1 folgt daher die Aussage aus Lemma 23.7.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und ${}\omega$ eine holomorphe Differentialform auf ${}X$.

Dann ist ${}\omega$ genau dann trivial, wenn für alle geschlossenen Wege ${}\gamma$ in ${}X$ die Gleichheit

${}\int _{\gamma }\omega =0\,$

gilt.

Beweis

Dies folgt aus Korollar 24.2, da auf einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche nur die triviale holomorphe Differentialform exakt ist, da als Stammformen nur die konstanten Funktionen in Frage kommen.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann gibt es einen natürlichen injektiven Gruppenhomomorphismus

$H^{0}(X,\Omega _{X})\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(\pi _{1}(X),{\mathbb {K} }\right)},\,\omega \longmapsto {\left(\gamma \mapsto \int _{\gamma }\omega \right)},$

von den globalen holomorphen Differentialformen in den Homorphismenraum von der Fundamentalgruppe ${}\pi _{1}(X)$ nach ${}{\mathbb {K} }$.

Beweis

Dies folgt aus Lemma 24.1 und Korollar 23.9 unter Verwendung der Injektivität von ${}\delta \colon H^{0}(X,\Omega _{X})\rightarrow H^{1}(X,{\mathbb {C} })$.

$\Box$

Das Bild der zu ${}\omega$ gehörenden Periodenabbildung ${}\gamma \mapsto \int _{\gamma }\omega$ nennen wir die Periodengruppe zu ${}\omega$, also

${}\operatorname {Per} (\omega )={\left\{\int _{\gamma }\omega \mid \gamma \in \pi _{1}(X)\right\}}\,.$

Es handelt sich um eine Untergruppe von ${}{\mathbb {C} }$. Es sei erwähnt, dass die Periodengruppe im Allgemeinen kein Gitter sein muss.

Korollar

Es sei ${}X$ ein komplexer Torus und ${}\omega$ eine nichttriviale holomorphe Differentialform auf ${}X$.

Dann ist das Bild unter dem natürlichen Gruppenhomomorphismus

$\pi _{1}(X)\cong \mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,\gamma \longmapsto \int _{\gamma }\omega ,$

ein Gitter ${}P$ in ${}{\mathbb {C} }$, und ${}X$ ist biholomorph zu ${}{\mathbb {C} }/P$.

Beweis

Es ist ${}X={\mathbb {C} }/\Gamma$ mit einem Gitter ${}\Gamma =\langle v_{1},v_{2}\rangle \subseteq {\mathbb {C} }$ und der Projektion ${}p\colon {\mathbb {C} }\rightarrow X$. Die Fundamentalgruppe von ${}X$ ist ${}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$, als Erzeuger kann man die Bilder der beiden Wege

$\gamma _{1}\colon [0,1]\longrightarrow X,\,t\longmapsto [tv_{1}],$

und

$\gamma _{2}\colon [0,1]\longrightarrow X,\,t\longmapsto [tv_{2}],$

wählen. Die Bildgruppe ${}{\left\{\int _{\gamma }\omega \mid \gamma \in \pi _{1}(X)\right\}}$ wird von ${}\int _{\gamma _{1}}\omega$ und ${}\int _{\gamma _{2}}\omega$ erzeugt. Es ist ${}\Gamma (X,\Omega _{X})$ nach Korollar 15.14 eindimensional und wird von ${}dz$ erzeugt, wobei ${}z$ die Variable auf ${}{\mathbb {C} }$ sei und die Differentialform ${}dz$ auf ${}{\mathbb {C} }$ sich wegen der Invarianz nach unten drückt. Daher ist ${}\omega =sdz$ mit einem ${}s\in {\mathbb {C} }$, ${}s\neq 0$. Es ist somit unter Verwendung von Satz Anhang.

${}\int _{\gamma _{1}}\omega =\int _{t\mapsto tv_{1}}p^{*}\omega =\int _{t\mapsto tv_{1}}sdz=\int _{0}^{1}sv_{1}dt=sv_{1}\,$

und ebenso

${}\int _{\gamma _{2}}\omega =sv_{2}\,.$

Also wird unter der Multiplikation mit ${}s$, also ${}s\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$, ${}z\longmapsto sz$, das Gitter ${}\Gamma$ in das Periodengitter ${}P$ überführt und nach Lemma 9.11 (Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)) sind ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ und ${}{\mathbb {C} }/P$ äquivalent.

$\Box$

Bemerkung  

Auf einem Torus ${}X=S^{1}\times S^{1}$ ist unabhängig von einer holomorphen Struktur

${}\pi _{1}(X)=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \,$

mit den beiden jeweiligen einfachen Umkreisungen ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ als Basiswege (die allerdings nicht eindeutig bestimmt sind) und ${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })\cong {\mathbb {C} }^{2}$, siehe Beispiel 22.7. Nach Korollar 23.9 liegt ein natürlicher Gruppenisomorphismus

$H^{1}(X,{\mathbb {C} })\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(\pi _{1}(X),{\mathbb {C} }\right)},\,c\longmapsto {\left(\gamma \mapsto \int _{\gamma }c\right)},$

vor. Eine Kohomologieklasse links kann man also mit einer linearen Abbildung identifizieren, bei der den Basiswegen eine komplexe Zahl zugeordnet wird. Insbesondere erhält man eine Basis auf ${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ in den zwei Klassen, die den beiden Auswertungen ${}e_{\gamma _{1}}$ und ${}e_{\gamma _{1}}$ entsprechen.

Wenn der Torus zusätzlich die Struktur einer riemannschen Fläche besitzt, so erhält man mit Lemma 15.8 die exakte Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

und dazu (die ersten beiden Terme wurden schon verarbeitet) die lange Kohomologiesequenz

$0\longrightarrow H^{0}(X,\Omega _{X}){\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{1}(X,{\mathbb {C} })\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,\Omega _{X})\longrightarrow \ldots$

(siehe auch Lemma 31.4). Der Raum ${}H^{0}(X,\Omega _{X})$ ist nach Korollar 15.14 eindimensional. Wenn ${}X={\mathbb {C} }/\Gamma$ mit einem Gitter ${}\Gamma =\langle v_{1},v_{2}\rangle$ realisiert wird, so sind die Bilder der Kantenwege ${}t\mapsto tv_{1}$ bzw. ${}t\mapsto tv_{2}$ (${}t\in [0,1]$) Basiswege des Torus. Nach dem Beweis zu Korollar 24.5 ist die Auswertung, die zu einer holomorphen Differentialform gehört, von der Form ${}\gamma _{1}\mapsto sv_{1},\gamma _{2}\mapsto sv_{2}$ mit einem festen ${}s\in {\mathbb {C} }$, also ein Vielfaches von ${}v_{1}e_{\gamma _{1}}+v_{2}e_{\gamma _{1}}$. Das Gitter spiegelt sich also darin wieder, wie der eindimensionale Raum ${}H^{0}(X,\Omega _{X})$ im zweidimensionalen nur von der Topologie abhängigen Raum ${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })\cong {\mathbb {C} }^{2}$ liegt. Ein eindimensionaler komplexer Untervektorraum von ${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ kann genau dann als ${}H^{0}(X,\Omega _{X})$ eines komplexen Torus realisiert werden, wenn die beiden Komponenten reell-linear unabhängig in ${}{\mathbb {C} }$ sind.

Bemerkung  

Eine antiholomorphe Differentialform auf einer riemannschen Fläche ${}X$ ist eine Differentialform ${}\omega \in \Gamma {\left(X,{{\mathcal {E}}^{(1)}}\right)}$, die lokal die Form ${}{\overline {f}}d{\overline {z}}$ besitzt. Durch komplexe Konjugation entsteht aus jeder holomorphen Differentialform eine antiholomorphe Differentialform. Es gelten entsprechende Gesetzmäßigkeiten.

Beispiel

Wir betrachten die durch die Gleichung

${}W^{2}=Z{\left(Z^{2}-1\right)}{\left(Z^{2}+1\right)}=Z{\left(Z^{4}-1\right)}=Z(Z-1)(Z+1)(Z-{\mathrm {i} })(Z+{\mathrm {i} })\,$

gegebene riemannsche Fläche ${}V$ und die vervollständigte (kompakte) Version ${}X$ davon, siehe Korollar 2.8 und Lemma 14.13. Nach Lemma 15.10 und Aufgabe 15.9 ist ${}\omega ={\frac {dz}{w}}$ eine holomorphe Differentialform auf ${}X$ und nach Lemma 17.12 ist das dort beschriebene Wegintegral ${}\int _{\gamma }\omega$ für ${}z$ reell zwischen ${}-1$ und ${}0$ positiv. Es sei ${}\zeta$ eine primitive achte Einheitswurzel, beispielsweise ${}\zeta =e^{\pi {\mathrm {i} }/4}$. Durch ${}Z\mapsto \zeta ^{2}Z$ und ${}W\mapsto \zeta W$ wird wegen

${}\zeta ^{2}Z{\left(\zeta ^{8}Z^{4}-1\right)}=\zeta ^{2}Z{\left(Z^{4}-1\right)}=\zeta ^{2}W^{2}={\left(\zeta W\right)}^{2}\,$

eine biholmorphe Abbildung ${}\theta$ auf ${}V$ und dann auch auf ${}X$ festgelegt. Nach Satz Anhang. gilt

${}\int _{\theta \circ \gamma }\omega =\int _{\gamma }\theta ^{*}\omega =\int _{\gamma }\zeta \omega =\zeta \int _{\gamma }\omega \,.$

Entsprechend sind die Wegintegrale zu ${}\omega$ längs der Wege ${}\theta ^{n}\circ g$ gleich ${}\zeta ^{n}\int _{\gamma }\omega$. Nach Korollar 19.12 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) sind die Potenzen ${}1,\zeta ,\zeta ^{2},\zeta ^{3}$ linear unabhängig über ${}\mathbb {Q}$ und das überträgt sich auf die Perioden ${}\int _{\gamma }\omega ,\,\int _{\theta \circ \gamma }\omega =\zeta \int _{\gamma }\omega ,\,\int _{\theta ^{2}\circ \gamma }\omega =\zeta ^{2}\int _{\gamma }\omega ,\,\int _{\theta ^{3}\circ \gamma }\omega =\zeta ^{3}\int _{\gamma }\omega$. Deshalb bilden die Perioden zu ${}\omega$ zu den verschiedenen geschlossenen Wegen eine Untergruppe vom Rang zumindest ${}4$ und daher ist die Periodengruppe kein Gitter in ${}{\mathbb {C} }$. Aufgrund von Eigenschaften des achten Kreisteilungskörpers handelt es sich um eine dichte Untergruppe.

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