Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Vorlesung 24
- Auswertung von holomorphen Differentialformen längs eines Weges
Es sei eine riemannsche Fläche. Es sei eine holomorphe Differentialform auf mit der zugehörigen Kohomologieklasse bezüglich der exakten Garbensequenz
(siehe Lemma 15.8).
Dann ist für jeden geschlossenen Weg
Es sei eine offene Überdeckung mit Kreisscheiben. Auf besitzt eine holomorphe Stammform, also eine holomorphe Funktion mit auf . Die zugehörige Kohomologieklasse in wird durch den Čech-Kozykel auf beschrieben. Es sei eine topologische Kette um und es seien für . Wir setzen ferner . Es sei der Teilweg, der von nach führt und somit in verläuft. Dann ist insgesamt
Die Wegintegrale hängen nur von der Homotopieklasse des Weges ab. Dies folgt aus
Satz 17.7
und für geschlossene Wege auch aus
Lemma 24.1
in Verbindung mit
Lemma 23.5 (6).
Es sei eine zusammenhängende riemannsche Fläche und eine holomorphe Differentialform auf .
Dann ist genau dann exakt, wenn für alle geschlossenen Wege in die Gleichheit
gilt.
Es sei bezüglich der kurzen exakten Garbensequenz
(siehe Lemma 15.8). Die Exaktheit von bedeutet, dass es eine holomorphe Funktion auf mit gibt. Dies ist aufgrund der langen Kohomologiesequenz äquivalent zu
Wegen Lemma 24.1 folgt daher die Aussage aus Lemma 23.7.
Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und eine holomorphe Differentialform auf .
Dann ist genau dann trivial, wenn für alle geschlossenen Wege in die Gleichheit
gilt.
Dies folgt aus Korollar 24.2, da auf einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche nur die triviale holomorphe Differentialform exakt ist, da als Stammformen nur die konstanten Funktionen in Frage kommen.
Es sei eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.
Dann gibt es einen natürlichen injektiven Gruppenhomomorphismus
von den globalen holomorphen Differentialformen in den Homorphismenraum von der Fundamentalgruppe nach .
Dies folgt aus Lemma 24.1 und Korollar 23.9 unter Verwendung der Injektivität von .
Das Bild der zu gehörenden Periodenabbildung nennen wir die Periodengruppe zu , also
Es handelt sich um eine Untergruppe von . Es sei erwähnt, dass die Periodengruppe im Allgemeinen kein Gitter sein muss.
Es sei ein komplexer Torus und eine nichttriviale holomorphe Differentialform auf .
Dann ist das Bild unter dem natürlichen Gruppenhomomorphismus
ein Gitter in , und ist biholomorph zu .
Es ist mit einem Gitter und der Projektion . Die Fundamentalgruppe von ist , als Erzeuger kann man die Bilder der beiden Wege
und
wählen. Die Bildgruppe wird von und erzeugt. Es ist nach Korollar 15.14 eindimensional und wird von erzeugt, wobei die Variable auf sei und die Differentialform auf sich wegen der Invarianz nach unten drückt. Daher ist mit einem , . Es ist somit unter Verwendung von Satz Anhang.
und ebenso
Also wird unter der Multiplikation mit , also , , das Gitter in das Periodengitter überführt und nach Lemma 9.11 (Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)) sind und äquivalent.
Auf einem Torus ist unabhängig von einer holomorphen Struktur
mit den beiden jeweiligen einfachen Umkreisungen und als Basiswege (die allerdings nicht eindeutig bestimmt sind) und , siehe Beispiel 22.7. Nach Korollar 23.9 liegt ein natürlicher Gruppenisomorphismus
vor. Eine Kohomologieklasse links kann man also mit einer linearen Abbildung identifizieren, bei der den Basiswegen eine komplexe Zahl zugeordnet wird. Insbesondere erhält man eine Basis auf in den zwei Klassen, die den beiden Auswertungen und entsprechen.
Wenn der Torus zusätzlich die Struktur einer riemannschen Fläche besitzt, so erhält man mit Lemma 15.8 die exakte Garbensequenz
und dazu (die ersten beiden Terme wurden schon verarbeitet) die lange Kohomologiesequenz
(siehe auch Lemma 31.4). Der Raum ist nach Korollar 15.14 eindimensional. Wenn mit einem Gitter realisiert wird, so sind die Bilder der Kantenwege bzw. () Basiswege des Torus. Nach dem Beweis zu Korollar 24.5 ist die Auswertung, die zu einer holomorphen Differentialform gehört, von der Form mit einem festen , also ein Vielfaches von . Das Gitter spiegelt sich also darin wider, wie der eindimensionale Raum im zweidimensionalen nur von der Topologie abhängigen Raum liegt. Ein eindimensionaler komplexer Untervektorraum von kann genau dann als eines komplexen Torus realisiert werden, wenn die beiden Komponenten reell-linear unabhängig in sind.
Eine antiholomorphe Differentialform auf einer riemannschen Fläche ist eine Differentialform , die lokal die Form besitzt. Durch komplexe Konjugation entsteht aus jeder holomorphen Differentialform eine antiholomorphe Differentialform. Es gelten entsprechende Gesetzmäßigkeiten.
Wir betrachten die durch die Gleichung
gegebene riemannsche Fläche und die vervollständigte (kompakte) Version davon, siehe Korollar 2.8 und Lemma 14.13. Nach Lemma 15.10 und Aufgabe 15.9 ist eine holomorphe Differentialform auf und nach Lemma 17.12 ist das dort beschriebene Wegintegral für reell zwischen und positiv. Es sei eine primitive achte Einheitswurzel, beispielsweise . Durch und wird wegen
eine biholmorphe Abbildung auf und dann auch auf festgelegt. Nach Satz Anhang. gilt
Entsprechend sind die Wegintegrale zu längs der Wege gleich . Nach Korollar 19.12 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) sind die Potenzen linear unabhängig über und das überträgt sich auf die Perioden . Deshalb bilden die Perioden zu zu den verschiedenen geschlossenen Wegen eine Untergruppe vom Rang zumindest und daher ist die Periodengruppe kein Gitter in . Aufgrund von Eigenschaften des achten Kreisteilungskörpers handelt es sich um eine dichte Untergruppe.
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