Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialform/Geschlossener Weg/Exaktheitstest/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}c=\delta (\omega )\in H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ bezüglich der kurzen exakten Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

(siehe Fakt). Die Exaktheit von ${}\omega$ bedeutet, dass es eine holomorphe Funktion ${}h$ auf ${}X$ mit ${}\omega =dh$ gibt. Dies ist aufgrund der langen Kohomologiesequenz äquivalent zu

${}\delta (\omega )=0\,.$

Wegen Fakt folgt daher die Aussage aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage