Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 5/latex
\setcounter{section}{5}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
\definitionsverweis {komplexe Mannigfaltigkeiten}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {M} {N
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{.}
Es sei
\mathkor {} {P \in M} {und} {Q=\varphi(P)} {}
und es seien
\maabbdisp {\gamma_1,\gamma_2} {B} {M
} {}
zwei
\definitionsverweis {holomorphe Kurven}{}{}
mit einem offenen Ball
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma_1 (0)
}
{ = }{ \gamma_2(0)
}
{ = }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es seien
\mathkor {} {\gamma_1} {und} {\gamma_2} {}
im Punkt $P$
\definitionsverweis {tangential äquivalent}{}{.}
Zeige, dass dann auch die
\definitionsverweis {Verknüpfungen}{}{}
\mathkor {} {\varphi \circ \gamma_1} {und} {\varphi \circ \gamma_2} {}
tangential äquivalent in $Q$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
\definitionsverweis {riemannsche Flächen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{.}
Zeige, dass
\maabbdisp {T_P(\varphi)} {T_P X} {T_{\varphi (P) } Y
} {}
genau dann die Nullabbildung ist, wenn $\varphi$ konstant in einer offenen Umgebung von $P$ ist oder wenn der lokale Exponent von $\varphi$ im Sinne von
Satz 2.1
\zusatzklammer {bzw.
Aufgabe 3.5} {} {}
$\geq 2$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {z} {z^3+z
} {.}
Für welche Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die
\definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{}
\maabbdisp {} {T_P {\mathbb C} } { T_{\varphi(P)} {\mathbb C}
} {}
bijektiv?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C}^2 } { {\mathbb C}
} { (z,w)} {z^3+zw+w^2
} {.}
Für welche Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die
\definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{}
\maabbdisp {} {T_P {\mathbb C}^2 } { T_{\varphi(P)} {\mathbb C}
} {}
surjektiv?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{P,Q \in {\mathbb P}^{n}_{K}}{} Punkte im
\definitionsverweis {projektiven Raum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Zeige, dass es einen
\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} { {\mathbb P}^{n}_{K}} { {\mathbb P}^{n}_{K}
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(P)
}
{ = }{Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_1,P_2,P_3
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{1}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q_1,Q_2,Q_3
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{1}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
jeweils drei
\zusatzklammer {untereinander verschiedene} {} {}
Punkte auf der
\definitionsverweis {projektiven Geraden}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Zeige, dass es einen
$K$-\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} { {\mathbb P}^{1}_{K} } { {\mathbb P}^{1}_{K}
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(P_i)
}
{ = }{ Q_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{1,2,3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb P}^{1}_{K} } { {\mathbb P}^{1}_{K} } {(s,t)} { (t,s) } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und ${\mathbb P}^{n}_{K}$ der zugehörige
\definitionsverweis {projektive Raum}{}{.}
Es sei
\maabb {\varphi} {K^{n+1}} { K^{n+1}
} {}
eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
und
\maabbeledisp {\psi} { {\mathbb P}^{n}_{K}} { {\mathbb P}^{n}_{K}
} { \left( x_0 , \, x_1 , \, \ldots , \, x_n \right) } { \psi \left( x_0 , \, x_1 , \, \ldots , \, x_n \right)
} {,}
der zugehörige
\definitionsverweis {Automorphismus}{}{.}
Zeige, dass ein Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{ K^{n+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
zu $\varphi$ ist, wenn der zugehörige Punkt im projektiven Raum ein
\definitionsverweis {Fixpunkt}{}{}
von $\psi$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {komplex-projektive Gerade}{}{}
im Sinne von
Beispiel 2.6
mit der projektiven Geraden
\mathl{{\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }}{} im Sinne der
Definition 5.8
als komplexe Mannigfaltigkeit übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder $={\mathbb C}$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \subset }{ {\mathbb K}^{n+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein $n$-dimensionaler
\definitionsverweis {affiner Unterraum}{}{,}
der den Nullpunkt nicht enthält, und es sei $\tilde{H}$ der dazu parallele Unterraum durch den Nullpunkt. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \cong }{ {\mathbb K}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offene Menge
\zusatzklammer {in der metrischen Topologie} {} {}
und es sei $V$ die Vereinigung aller Geraden durch den Nullpunkt und durch einen Punkt von $U$. Zeige, dass der Durchschnitt von $V$ mit
\mathl{{\mathbb K}^{n+1} \setminus \tilde{H}}{} offen ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X_0 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$d$. Zeige, dass für einen Punkt
\mathl{\left( x_0 , \, \ldots , \, x_n \right)}{} und einen Skalar $\lambda$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F \left( \lambda x_0 , \, \ldots , \, \lambda x_n \right)
}
{ =} { \lambda^d F \left( x_0 , \, \ldots , \, x_n \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Man folgere, dass $F$ in
\mathl{\left( x_0 , \, \ldots , \, x_n \right)}{} genau dann verschwindet, wenn $F$ für ein beliebiges
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\lambda
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\mathl{\lambda \left( x_0 , \, \ldots , \, x_n \right)}{} verschwindet.
}
{} {}
Formales Ableiten von Polynomen über einem beliebigen Körper geschieht nach den gleichen Regeln wie das partielle Ableiten über $\R$ oder ${\mathbb C}$. Man kann sich bei den folgenden Aufgaben auf diese Körper beschränken.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\zusatzklammer {in der
\definitionsverweis {Standardgraduierung}{}{}} {} {}
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{}
vom Grad $e$. Zeige die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e H
}
{ =} { X_1 { \frac{ \partial H }{ \partial X_1 } } + \cdots + X_n { \frac{ \partial H }{ \partial X_n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass formales
\definitionsverweis {partielles Ableiten}{}{}
auf dem Polynomring
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} bezüglich einer Variablen und
\definitionsverweis {Dehomogenisieren}{}{}
bezüglich einer anderen Variablen vertauschbar sind.
} {Zeige, dass dies nicht für die gleiche Variable stimmt.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_+ { \left( X^4+Y^4+X^2Y^2+XZ^3 \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{ {\mathbb C} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
definiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_+ { \left( X^5+XY^4+XYZ^3+YZ^4 \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{ {\mathbb C} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
definiert.
}
{} {}