Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 5

Aufgaben

Aufgabe

Es seien ${}M$ und ${}N$ komplexe Mannigfaltigkeiten und es sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine holomorphe Abbildung. Es sei ${}P\in M$ und ${}Q=\varphi (P)$ und es seien

$\gamma _{1},\gamma _{2}\colon B\longrightarrow M$

zwei holomorphe Kurven mit einem offenen Ball ${}0\in B$ und ${}\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P$. Es seien ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ im Punkt ${}P$ tangential äquivalent. Zeige, dass dann auch die Verknüpfungen ${}\varphi \circ \gamma _{1}$ und ${}\varphi \circ \gamma _{2}$ tangential äquivalent in ${}Q$ sind.

Aufgabe

Es seien ${}X$ und ${}Y$ riemannsche Flächen, ${}P\in X$ ein Punkt und ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine holomorphe Abbildung. Zeige, dass

$T_{P}(\varphi )\colon T_{P}X\longrightarrow T_{\varphi (P)}Y$

genau dann die Nullabbildung ist, wenn ${}\varphi$ konstant in einer offenen Umgebung von ${}P$ ist oder wenn der lokale Exponent von ${}\varphi$ im Sinne von Satz 2.1 (bzw. Aufgabe 3.5) ${}\geq 2$ ist.

Aufgabe *

Wir betrachten die holomorphe Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3}+z.$

Für welche Punkte ${}P\in {\mathbb {C} }$ ist die Tangentialabbildung

$T_{P}{\mathbb {C} }\longrightarrow T_{\varphi (P)}{\mathbb {C} }$

bijektiv?

Aufgabe *

Wir betrachten die holomorphe Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(z,w)\longmapsto z^{3}+zw+w^{2}.$

Für welche Punkte ${}P\in {\mathbb {C} }^{2}$ ist die Tangentialabbildung

$T_{P}{\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow T_{\varphi (P)}{\mathbb {C} }$

surjektiv?

Aufgabe

Es seien ${}P,Q\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ Punkte im projektiven Raum über einem Körper ${}K$. Zeige, dass es einen Automorphismus ${}\varphi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{n}\rightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ mit ${}\varphi (P)=Q$ gibt.

Aufgabe

Es seien ${}P_{1},P_{2},P_{3}\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ und ${}Q_{1},Q_{2},Q_{3}\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ jeweils drei (untereinander verschiedene) Punkte auf der projektiven Geraden über einem Körper ${}K$. Zeige, dass es einen ${}K$- Automorphismus ${}\varphi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{1}\rightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ mit ${}\varphi (P_{i})=Q_{i}$ für ${}i=1,2,3$ gibt.

Aufgabe *

Bestimme die Fixpunkte der Abbildung

${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(s,t)\longmapsto (t,s).$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der zugehörige projektive Raum. Es sei ${}\varphi \colon K^{n+1}\rightarrow K^{n+1}$ eine bijektive lineare Abbildung und

$\psi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{n}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n},\,\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \psi \left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right),$

der zugehörige Automorphismus. Zeige, dass ein Vektor ${}v\in K^{n+1}$ genau dann ein Eigenvektor zu ${}\varphi$ ist, wenn der zugehörige Punkt im projektiven Raum ein Fixpunkt von ${}\psi$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass die komplex-projektive Gerade im Sinne von Beispiel 2.6 mit der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ im Sinne der Definition 5.8 als komplexe Mannigfaltigkeit übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ oder ${}={\mathbb {C} }$. Es sei ${}H\subset {\mathbb {K} }^{n+1}$ ein ${}n$-dimensionaler affiner Unterraum, der den Nullpunkt nicht enthält, und es sei ${}{\tilde {H}}$ der dazu parallele Unterraum durch den Nullpunkt. Es sei ${}U\subseteq H$ eine in ${}H\cong {\mathbb {K} }^{n}$ offene Menge (in der metrischen Topologie) und es sei ${}V$ die Vereinigung aller Geraden durch den Nullpunkt und durch einen Punkt von ${}U$. Zeige, dass der Durchschnitt von ${}V$ mit ${}{\mathbb {K} }^{n+1}\setminus {\tilde {H}}$ offen ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ ein homogenes Polynom vom Grad ${}d$. Zeige, dass für einen Punkt ${}\left(x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ und einen Skalar ${}\lambda$ die Beziehung

${}F\left(\lambda x_{0},\,\ldots ,\,\lambda x_{n}\right)=\lambda ^{d}F\left(x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\,$

gilt. Man folgere, dass ${}F$ in ${}\left(x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ genau dann verschwindet, wenn ${}F$ für ein beliebiges ${}\lambda \neq 0$ in ${}\lambda \left(x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ verschwindet.

Formales Ableiten von Polynomen über einem beliebigen Körper geschieht nach den gleichen Regeln wie das partielle Ableiten über ${}\mathbb {R}$ oder ${}{\mathbb {C} }$. Man kann sich bei den folgenden Aufgaben auf diese Körper beschränken.

Aufgabe

Es sei ${}H\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein (in der Standardgraduierung) homogenes Polynom vom Grad ${}e$. Zeige die Beziehung

${}eH=X_{1}{\frac {\partial H}{\partial X_{1}}}+\cdots +X_{n}{\frac {\partial H}{\partial X_{n}}}\,.$

Aufgabe *

1. Zeige, dass formales partielles Ableiten auf dem Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ bezüglich einer Variablen und Dehomogenisieren bezüglich einer anderen Variablen vertauschbar sind.
2. Zeige, dass dies nicht für die gleiche Variable stimmt.

Aufgabe *

Zeige, dass

${}V_{+}{\left(X^{4}+Y^{4}+X^{2}Y^{2}+XZ^{3}\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

eine kompakte riemannsche Fläche definiert.

Aufgabe *

Zeige, dass

${}V_{+}{\left(X^{5}+XY^{4}+XYZ^{3}+YZ^{4}\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

eine kompakte riemannsche Fläche definiert.