Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 4

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Punkt und sei ${}I={]{-1},1[}$. Wir betrachten die Menge

${}M={\left\{f:I\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\mid f{\text{ differenzierbar}},\,f(0)=P\right\}}\,.$

Wir nennen zwei Kurven ${}f,g\in M$ tangential äquivalent, wenn

${}f'(0)=g'(0)\,$

ist.

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

b) Finde den einfachsten Vertreter für die Äquivalenzklassen.

c) Man gebe für jede Klasse einen weiteren Vertreter an.

d) Beschreibe die Menge der Äquivalenzklassen (also die Quotientenmenge).

Aufgabe

Zeige, dass man jeden Tangentialvektor ${}v\in T_{P}S^{2}$ in einem Punkt ${}P$ auf der Einheitssphäre durch einen „uniformen“ differenzierbaren Weg auf einem Großkreis realisieren kann.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$. Zeige, dass für eine differenzierbare Kurve

$\gamma \colon I\longrightarrow M$

mit ${}\gamma (0)=P$ und ${}a\in \mathbb {R}$ im Tangentialraum ${}T_{P}M$ die Beziehung

${}a[\gamma ]=[\lambda ]\,$

gilt, wobei ${}\lambda$ durch ${}\lambda (t):=\gamma (at)$ definiert sei.

Aufgabe

Zeige, dass auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit die Addition von Wegen

$\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M$

mit ${}\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P\in M$, die man durch eine Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}\alpha (P)=0$ aus der Addition im ${}\mathbb {R} ^{n}$ erhalten kann, im Allgemeinen von der gewählten Karte abhängt.

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}\varphi \colon G\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ eine differenzierbare Abbildung und ${}M$ die Faser über ${}0\in \mathbb {R} ^{m}$. Es sei vorausgesetzt, dass das totale Differential in jedem Punkt dieser Faser surjektiv sei. Zeige, dass für ${}P\in M$ der Tangentialraum im Sinne von Definition 53.7 mit dem Tangentialraum der differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ im Punkt ${}P$ übereinstimmt.

Aufgabe *

Wir betrachten die holomorphe Kurve

$\gamma \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,t\longmapsto \left(\exp t,\,\sin t\right),$

im Punkt ${}t=0$. Bestimme eine affin-lineare Kurve

$\delta \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},$

die im Punkt ${}\gamma (0)$ tangential äquivalent zu ${}\gamma$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine ${}{\mathbb {C} }$- lineare Abbildung. Wir betrachten ${}V$ auch als reellen Vektorraum der doppelten Dimension, worauf ${}\varphi$ auch eine reell-lineare Abbildung ist, die wir zur Unterscheidung mit ${}\psi$ bezeichnen. Zeige, dass zwischen der komplexen Determinante und der reellen Determinante die Beziehung

${}\vert {\det \varphi }\vert ^{2}=\det \psi \,$

besteht.