Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Definitionsliste

Definition:Holomorphe Funktion

Eine auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte Funktion

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

heißt holomorph, wenn sie komplex differenzierbar ist.

Definition:Komplexe Mannigfaltigkeit

Ein topologischer Hausdorff-Raum ${}M$ zusammen mit einer offenen Überdeckung ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Homöomorphismen

$\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$

mit ${}V_{i}\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ derart, dass die Übergangsabbildungen

$\alpha _{j}\circ (\alpha _{i})^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})$

Diffeomorphismen sind, heißt komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$. Die Menge der Karten ${}(U_{i},\alpha _{i})$, ${}i\in I$, nennt man auch den Atlas der Mannigfaltigkeit.

Definition:Riemannsche Fläche

Eine riemannsche Fläche ist eine komplexe Mannigfaltigkeit der (komplexen) Dimension ${}1$.

Definition:Holomorphe Funktion (riemannsche Fläche)

Eine Funktion ${}f\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf einer riemannschen Fläche ${}X$ heißt holomorph, wenn es eine offene Überdeckung

${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

mit Karten

$\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}\subseteq {\mathbb {C} }$

derart gibt, dass

$f\circ \alpha _{i}^{-1}\colon V_{i}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

holomorph sind.

Definition:Strukturgarbe (riemannsche Fläche)

Zu einer riemannschen Fläche ${}X$ bezeichnet man den Ring der holomorphen Funktionen auf ${}X$ mit

$\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$

und spricht von der (globalen Auswertung der) Strukturgarbe auf ${}X$.

Definition:Holomorphe Abbildung (riemannsche Fläche)

Es seien ${}X$ und ${}Y$ riemannsche Flächen und sei

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

eine stetige Abbildung. Man nennt ${}\varphi$ holomorph, wenn für jede offene Teilmenge ${}V\subseteq Y$ und jede holomorphe Funktion ${}f\in \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})$ die zusammengesetzte Funktion ${}f\circ \varphi {|}_{\varphi ^{-1}(V)}$ holomorph ist.

Definition:Biholomorphe riemannsche Fläche

Zwei riemannsche Flächen ${}X$ und ${}Y$ heißen biholomorph, wenn es holomorphe Abbildungen ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ und ${}\psi \colon Y\rightarrow X$ gibt mit ${}\psi \circ \varphi =\operatorname {Id} _{X}$ und ${}\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{Y}$.

Definition:Tangential äquivalente Kurven

Es sei ${}M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Es seien

$\gamma _{1}\colon B_{1}\longrightarrow M$

und

$\gamma _{2}\colon B_{2}\longrightarrow M$

zwei auf offenen Bällen ${}0\in B_{1},B_{2}\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte holomorphe Kurven mit ${}\gamma _{1}(0)=P=\gamma _{2}(0)$. Dann heißen ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ tangential äquivalent in ${}P$, wenn es eine offene Umgebung ${}P\in U$ und eine Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

mit ${}V\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ derart gibt, dass

${}{\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{1}{|}_{\gamma _{1}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)={\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{2}{|}_{\gamma _{2}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)\,$

gilt.

Definition:Tangentialvektor

Es sei ${}M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Unter einem Tangentialvektor an ${}P$ versteht man eine Äquivalenzklasse von tangential äquivalenten holomorphen Kurven durch ${}P$. Die Menge dieser Tangentialvektoren wird mit

$T_{P}M$

bezeichnet.

Definition:Tangentialraum

Es sei ${}M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Unter dem Tangentialraum an ${}P$, geschrieben ${}T_{P}M$, versteht man die Menge der Tangentialvektoren an ${}P$ versehen mit der durch eine beliebige Karte gegebenen komplexen Vektorraumstruktur.

Definition:Tangentialbündel (mit Topologie)

Es sei ${}M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$ und

${}TM=\biguplus _{P\in M}T_{P}M\,$

das Tangentialbündel, versehen mit der Projektionsabbildung

$\pi \colon TM\longrightarrow M,\,(P,v)\longmapsto P.$

Das Tangentialbündel wird mit derjenigen Topologie versehen, bei der eine Teilmenge ${}W\subseteq TM$ genau dann offen ist, wenn für jede Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

die Menge ${}(T(\alpha )){\left(W\cap \pi ^{-1}(U)\right)}$ offen in ${}V\times \mathbb {R} ^{n}$ ist.

Definition:Tangentialabbildung (in einem Punkt)

Es seien ${}M$ und ${}N$ komplexe Mannigfaltigkeiten und es sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine holomorphe Abbildung. Es sei ${}P\in M$ und ${}Q=\varphi (P)$. Dann nennt man die Abbildung

$T_{P}M\longrightarrow T_{\varphi (P)}N,\,[\gamma ]\longmapsto [\varphi \circ \gamma ],$

die zugehörige Tangentialabbildung im Punkt ${}P$. Sie wird mit ${}T_{P}(\varphi )$ bezeichnet.

Definition:Der projektive Raum

Es sei ${}K$ ein Körper. Der projektive ${}n$-dimensionale Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ besteht aus allen Geraden des ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}$ durch den Nullpunkt, wobei diese Geraden als Punkte aufgefasst werden. Ein solcher Punkt wird repräsentiert durch homogene Koordinaten ${}(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n})$, wobei nicht alle ${}a_{i}=0$ sein dürfen, und wobei zwei solche Koordinatentupel genau dann den gleichen Punkt repräsentieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar ${}\lambda \in K^{\times }$ ineinander übergehen.

Definition:Topologie auf dem komplex-projektiven Raum

Der komplex-projektive Raum ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{n}$ wird mit der Quotiententopologie zur Kegelabbildung

${\mathbb {C} }^{n+1}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{n}$

versehen.

Definition:Projektives Nullstellengebilde zu homogenem Polynom

Es sei ${}K$ ein Körper. Zu einem homogenen Polynom ${}F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ bezeichnet man die Menge

$V_{+}(F)={\left\{P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}\mid F(x_{0},\ldots ,x_{n})=0\right\}}\,$

als die projektive Nullstellenmenge zu ${}F$.

Definition:Überlagerung

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume. Eine stetige Abbildung

$p\colon Y\longrightarrow X$

heißt Überlagerung, wenn es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und eine Familie diskreter topologischer Räume ${}F_{i}$, ${}i\in I$, derart gibt, dass ${}p^{-1}(U_{i})$ homöomorph zu ${}U_{i}\times F_{i}$ (versehen mit der Produkttopologie) ist, wobei die Homöomorphien mit den Abbildungen nach ${}U_{i}$ verträglich sind.

Definition:Lokaler Homöomorphismus

Eine stetige Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

zwischen topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ heißt lokaler Homöomorphismus, wenn es zu jedem Punkt ${}x\in X$ eine offene Umgebung ${}x\in U$ derart gibt, dass ${}\varphi (U)$ offen in ${}Y$ ist und dass die Einschränkung

$U\longrightarrow \varphi (U)$

ein Homöomorphismus ist.

Definition:Liftung eines Weges

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume. Zu einer stetigen Abbildung ${}p\colon Y\rightarrow X$ und einem stetigen Weg

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$

nennt man einen stetigen Weg

${\tilde {\gamma }}\colon [0,1]\longrightarrow Y$

mit

${}\gamma =p\circ {\tilde {\gamma }}\,$

eine Liftung von ${}\gamma$.

Definition:Decktransformation

Es sei ${}p\colon E\rightarrow X$ eine Überlagerung von ${}X$. Ein Homöomorphismus ${}f\colon E\rightarrow E$ mit ${}p\circ f=p$ heißt Decktransformation der Überlagerung.

Definition:Normale Überlagerung

Eine Überlagerung

$p\colon Y\longrightarrow X$

heißt normal, wenn es zu jedem Punkt ${}x\in X$ und jedem Punktepaar ${}y_{1},y_{2}\in p^{-1}(x)$ eine Decktransformation

$\varphi \colon Y\longrightarrow Y$

mit ${}\varphi (y_{1})=y_{2}$ gibt.

Definition:Endliche Überlagerung

Eine Überlagerung ${}p\colon Y\rightarrow X$ heißt endlich, wenn jede Faser eine endliche Menge ist.

Definition:Gitter (${}{\mathbb {C} }$)

Unter einem Gitter in den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ versteht man ein vollständiges Gitter ${}\Gamma =\mathbb {Z} v_{1}\oplus \mathbb {Z} v_{2}\subset {\mathbb {C} }$.

Definition:Topologische Gruppe

Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe ${}G$, die zugleich ein topologischer Raum ist derart, dass die Verknüpfung

$G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$

und die Inversenbildung

$G\longrightarrow G,\,g\longmapsto g^{-1},$

stetige Abbildungen sind.

Definition:Komplexer Torus

Unter einem komplexen Torus versteht man den Quotientenraum ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ zu einem Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$.

Definition:Verzweigungsindex

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$. Es sei ${}x\in X$ ein Punkt mit ${}y=\varphi (x)$. Es sei ${}z$ ein lokaler Parameter um ${}y$. Dann nennt man die Nullstellenordnung der (in einer offenen Umgebung von ${}x$ definierten) holomorphen Funktion ${}z\circ \varphi$ im Punkt ${}x$ den Verzweigungsindex von ${}\varphi$ in ${}x$. Sie wird mit ${}\operatorname {Verz} {\left(x{|}\varphi (x)\right)}$ bezeichnet.

Definition:Prägarbe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Unter einer Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$ versteht man eine Zuordnung, die jeder offenen Menge ${}U\subseteq X$ eine Menge ${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ und zu je zwei offenen Mengen ${}U\subseteq V$ eine Abbildung

$\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$

zuordnet, wobei diese Zuordnung die beiden folgenden Bedingungen erfüllen muss.

1. Zu ${}U=V$ ist

   ${}\rho _{U,U}=\operatorname {Id} _{{\mathcal {F}}{\left(U\right)}}\,.$

2. Zu offenen Mengen

   ${}U\subseteq V\subseteq W\,$

   ist stets

   ${}\rho _{W,U}=\rho _{V,U}\circ \rho _{W,V}\,.$

Definition:Prägarbe von Gruppen

Eine Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ heißt Prägarbe von Gruppen, wenn zu jeder offenen Menge ${}U\subseteq X$ die Menge ${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ eine Gruppe und zu jeder Inklusion ${}U\subseteq V$ die Restriktionsabbildung

$\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Definition:Halm einer Prägarbe

Zu einer Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ und einem Punkt ${}P\in X$ nennt man

${}{\mathcal {F}}_{P}:=\operatorname {colim} \,_{P\in U}\Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}\,$

den Halm der Prägarbe im Punkt ${}P$.

Definition:Prägarben-Morphismus

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ Prägarben auf einem topologischen Raum ${}X$. Ein Morphismus von Prägarben

$\varphi \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {G}}$

ist eine Familie von Abbildungen

$\varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\longrightarrow {\mathcal {G}}(U)$

für jede offene Menge ${}U\subseteq X$ derart, dass zu jeder offenen Inklusion ${}U\subseteq V$ das Diagramm

${\begin{matrix}{\mathcal {F}}(U)&{\stackrel {\varphi _{U}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {G}}(U)&\\\!\!\!\!\!\rho _{U,V}\downarrow &&\downarrow \rho _{U,V}\!\!\!\!\!&\\{\mathcal {F}}(V)&{\stackrel {\varphi _{V}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {G}}(V)&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert.

Definition:Garbe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Unter einer Garbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$ versteht man eine Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$, die die folgenden Eigenschaften erfüllt.

1. Zu jeder offenen Überdeckung ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Elementen ${}s,t\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ mit ${}\rho _{U,U_{i}}(s)=\rho _{U,U_{i}}(t)$ für alle ${}i\in I$ gilt ${}s=t$.
2. Zu jeder offenen Überdeckung ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Elementen ${}s_{i}\in {\mathcal {F}}{\left(U_{i}\right)}$ mit ${}\rho _{U_{i},U_{i}\cap U_{j}}{\left(s_{i}\right)}=\rho _{U_{j},U_{i}\cap U_{j}}{\left(s_{j}\right)}$ für alle ${}i,j\in I$ gibt es ein ${}s\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ mit ${}s_{i}=\rho _{U,U_{i}}(s)$ für alle ${}i\in I$.

Definition:Surjektiver Garbenmorphismus

Ein Garbenmorphismus ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ zwischen Garben auf einem topologischer Raum ${}X$ heißt surjektiv, wenn für jeden Punkt ${}P\in X$ die Halmabbildung

$\varphi _{P}\colon {\mathcal {F}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {G}}_{P}$

surjektiv ist.

Definition:Quotientengarbe

Zu einer Garbe ${}{\mathcal {G}}$ von kommutativen Gruppen und einer Untergarbe von Gruppen ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ nennt man die Vergarbung der Prägarbe ${}U\mapsto {\mathcal {G}}{\left(U\right)}/{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ die Quotientengarbe zu ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$

Definition:Kurze exakte Garbensequenz

Ein exakter Komplex

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

von Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum ${}X$ heißt kurze exakte Sequenz.

Definition:Ausbreitungsraum

Es sei ${}{\mathcal {G}}$ eine Prägarbe auf einem topologischen Raum ${}X$. Unter dem Ausbreitungsraum zu ${}{\mathcal {G}}$ versteht man die Menge

${}{\mathcal {G}}^{\operatorname {et} }:=\biguplus _{x\in X}{\mathcal {G}}_{x}\,$

zusammen mit der Projektion

$p\colon {\mathcal {G}}^{\operatorname {et} }\longrightarrow X,$

die einem jeden Keim ${}(x,t)$ seinen Basispunkt ${}x$ zuordnet, versehen mit der Topologie, die durch die Basis

${}(U,s)={\left\{(x,s_{x})\mid x\in U\right\}}\,$

zu offenen Mengen ${}U\subseteq X$ und Schnitten ${}s\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}$ definiert wird.

Definition:Analytische Fortsetzung

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche und sei ${}\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ ein stetiger Weg mit ${}\gamma (0)=x$ und ${}\gamma (1)=y$. Man sagt, dass ein holomorpher Funktionskeim ${}g\in {\mathcal {O}}_{X,y}$ aus einem holomorphen Funktionskeim ${}f\in {\mathcal {O}}_{X,x}$ durch analytische Fortsetzung längs ${}\gamma$ hervorgeht, wenn es Punkte ${}0=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=1$, zusammenhängende offene Mengen ${}U_{i}\subseteq X$ mit ${}\gamma ([t_{i-1},t_{i}]\subseteq U_{i}$ und holomorphe Funktionen ${}f_{i}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$ derart gibt, dass ${}f_{1}=f$, ${}f_{n}=g$ und ${}f_{i}$ und ${}f_{i+1}$ in einer offenen Umgebung von ${}\gamma (t_{i})$ übereinstimmen.

Definition:Nullstellengebilde

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche, seien ${}a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}$ holomorphe Funktionen auf ${}X$ und sei ${}P=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}$ das durch diese Koeffizientenfunktionen definierte Polynom aus ${}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})[T]$. Dann nennt man

${}{\left\{(x,t)\in X\times {\mathbb {C} }\mid P(x,t)=0\right\}}\subseteq X\times {\mathbb {C} }\,$

das Nullstellengebilde zu ${}P$.

Definition:Unverzweigtes Nullstellengebilde

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche, seien ${}a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}$ holomorphe Funktionen auf ${}X$ und sei ${}V\subseteq X\times {\mathbb {C} }$ das Nullstellengebilde zu ${}P=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}$. Es sei ${}p\colon V\rightarrow X$ die Projektion auf ${}X$. Dann nennt man

${}{\tilde {V}}={\left\{v\in V\mid p^{-1}(p(v)){\text{ besteht aus }}n{\text{ Punkten}}\right\}}\subseteq V\,$

das unverzweigte Nullstellengebilde zu ${}P$.

Definition:Glattes Nullstellengebilde

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche, seien ${}a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}$ holomorphe Funktionen auf ${}X$ und sei ${}V\subseteq X\times {\mathbb {C} }$ das Nullstellengebilde zu ${}P=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}$. Es sei ${}p\colon V\rightarrow X$ die Projektion auf ${}X$. Dann nennt man

${}W={\left\{(x,t)\in V\mid {\frac {\partial P}{\partial T}}(x,t)\neq 0{\text{ oder }}{\frac {\partial a_{n-1}}{\partial z}}t^{n-1}+\cdots +{\frac {\partial a_{1}}{\partial z}}t+{\frac {\partial a_{0}}{\partial z}}\neq 0\right\}}\subseteq V\,$

das glatte Nullstellengebilde zu ${}P$. Hierbei bezeichnet ${}z$ einen lokalen Parameter in einer offenen Umgebung von ${}x$.

Definition:Hyperelliptische riemannsche Fläche zu Polynom

Es sei ${}f\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein Polynom ohne mehrfache Nullstelle vom Grad ${}k\geq 5$ und sei ${}Y={\left\{(z,w)\mid w^{2}=f(z)\right\}}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ die zugehörige riemannsche Wurzelfläche mit der Projektion ${}p\colon Y\longrightarrow {\mathbb {C} }\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, ${}(z,w)\longmapsto z$. Man nennt die Fortsetzung ${}{\tilde {Y}}$ von ${}Y$ (über ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$) im Sinne von Satz 14.11 die hyperelliptische riemannsche Fläche zu ${}f$.

Definition:Holomorpher Kotangentialraum

Es sei ${}M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Man nennt den komplexen Dualraum des Tangentialraumes ${}T_{P}M$ an ${}P$ den (holomorphen) Kotangentialraum an ${}P$. Er wird mit

${}T_{P}^{*}M=\operatorname {Hom} _{\mathbb {C} }{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}\,$

bezeichnet.

Definition:Holomorphe Differentialform

Eine holomorphe Differentialform auf einer riemannschen Fläche ${}X$ ist ein holomorpher Schnitt im Kotangentialbündel ${}T^{*}X$.

Definition:Differenzierbare Funktion (komplexe Mannigfaltigkeit)

Auf einer komplexen Mannigfaltigkeit ${}M$ bezeichnet man mit

${}{\mathcal {E}}{\left(M\right)}=C^{\infty }(M,{\mathbb {C} })={\left\{f:M\rightarrow {\mathbb {C} }\mid f{\text{ unendlich oft reell differenzierbar}}\right\}}\,$

die Menge aller komplexwertigen Funktionen auf ${}M$, die im reellen Sinn unendlich oft differenzierbar sind.

Definition:Differenzierbare 1-Form

Es sei ${}M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit. Unter einer differenzierbaren 1-Form auf ${}M$ versteht man eine ${}C^{\infty }$-Abbildung

$\omega \colon M\longrightarrow E^{(1)}=\biguplus _{P\in M}\operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}$

mit ${}\omega (P)\in \operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(T_{P}M,{\mathbb {C} }\right)}$.

Definition:Exakte Differentialform

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine ${}1$- Differentialform ${}\omega$ auf ${}M$ heißt exakt, wenn es eine differenzierbare Funktion ${}f$ auf ${}M$ mit ${}df=\omega$ gibt.

Definition:Geschlossene Differentialform

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine differenzierbare Differentialform ${}\omega$ auf ${}M$ heißt geschlossen, wenn ihre äußere Ableitung ${}d\omega =0$ ist.

Definition:Wegintegral

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}\omega \in {{\mathcal {E}}^{(1)}}{\left(M\right)}$ eine ${}1$- Differentialform. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow M$

eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt

${}\int _{\gamma }\omega :=\int _{[a,b]}\gamma ^{*}\omega =\int _{a}^{b}\omega (\gamma (t);\gamma '(t))\,dt\,$

das Wegintegral von ${}\omega$ längs ${}\gamma$.

Definition:Meromorphe Funktion

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Eine meromorphe Funktion auf ${}X$ ist gegeben durch eine diskrete Menge ${}D\subseteq X$ und eine holomorphe Funktion

$f\colon X\setminus D\longrightarrow {\mathbb {C} }$

derart, dass für jedes ${}x\in D$ der Limes ${}\operatorname {lim} _{y\rightarrow x}\,f(y)$ in ${}{\mathbb {C} }$ existiert oder gleich ${}\infty$ ist.

Definition:Hauptteil

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche, ${}U\subseteq X$ eine offene Teilmenge und ${}P\in U$. Zu einer meromorphen Funktion auf ${}U$ mit der Laurent-Entwicklung ${}\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}z^{n}$ in ${}P$ nennt man ${}\sum _{n=k}^{-1}c_{n}z^{n}$ den Hauptteil der Funktion in ${}P$.

Definition:Meromorphe Differentialform

Es sei ${}U$ eine riemannsche Fläche. Eine meromorphe Differentialform auf ${}U$ wird gegeben durch eine holomorphe Differentialform auf ${}U\setminus D$, wobei ${}D\subseteq U$ eine diskrete Teilmenge bezeichnet, mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt ${}P\in D$ lokal die Differentialform von der Form ${}fdz$ mit einer meromorphen Funktion ${}f$ und mit einem lokalen Parameter ${}z$ in ${}P$ ist.

Definition:Hauptdivisor

Es sei ${}X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche und ${}f\neq 0$ eine meromorphe Funktion auf ${}X$. Dann nennt man die formale Summe

$\sum _{x\in X}\operatorname {ord} _{x}(f)\cdot x$

den Hauptdivisor zu ${}f$. Er wird mit ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ bezeichnet.

Definition:Divisor

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Man nennt eine formale Summe

$\sum _{x\in X}n_{x}\cdot x$

mit ${}n_{x}\in \mathbb {Z}$ und der Eigenschaft, dass außerhalb einer diskreten Teilmenge ${}T\subset X$ die Zahlen ${}n_{x}=0$ sind, einen Divisor auf ${}X$.

Definition:Divisorenklassengruppe

Es sei ${}X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche mit dem Körper ${}{\mathcal {M}}{\left(X\right)}$ der meromorphen Funktionen. Man nennt die Restklassengruppe

$\operatorname {Div} \,(X)/\operatorname {HDiv} \,(X)$

die Divisorenklassengruppe von ${}X$. Sie wird mit ${}\operatorname {DKG} {\left(X\right)}$ bezeichnet.

Definition:Divisorenklassengruppe vom Grad 0

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche. Man nennt

${}\operatorname {DKG} _{0}{\left(X\right)}=\operatorname {Div} _{0}\,(X)/\operatorname {HDiv} \,(X)\,$

die Divisorenklassengruppe vom Grad 0 zu ${}X$.

Definition:Divisor zu einer meromorphen Differentialform

Zu einer meromorphen Differentialform ${}\omega \neq 0$ auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche ${}X$ definiert man den zugehörigen Divisor durch

${}\operatorname {div} {\left(\omega \right)}=\sum _{P\in X}n_{P}P\,$

mit ${}n_{P}=\operatorname {ord} _{P}\,(f)$, wenn ${}\omega =fdz$ eine lokale Beschreibung der Form mit einer meromorphen Funktion ${}f$ ist.

Definition:Invertierbare Garbe

Ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul ${}{\mathcal {L}}$ auf einer riemannschen Fläche ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ heißt invertierbar, wenn es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ derart gibt, dass die Einschränkungen ${}{\mathcal {L}}{|}_{U_{i}}$ isomorph zu ${}{\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}$ sind.

Definition:Invertierbare Garbe zu Divisor

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche und ${}D$ ein Divisor auf ${}X$. Dann nennt man die durch

${\mathcal {L}}_{D}(U):={\left\{f\mid f{\text{ ist meromorph auf }}U{\text{ und }}\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D{\text{ auf }}U\right\}}\,$

die zu ${}D$ zugehörige invertierbare Garbe.

Definition:(Kohomologisches) Geschlecht

Zu einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche ${}X$ nennt man ${}\dim _{\mathbb {C} }{\left(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\right)}$ das Geschlecht von ${}X$.

Definition:Verzweigungsdivisor

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Fläche ${}X$ und ${}Y$. Man nennt den Divisor ${}R$, der für jeden Punkt ${}P\in X$ die Ordnung

${}R_{P}=\operatorname {Verz} {\left(P{|}\varphi (P)\right)}-1\,$

zugewiesen bekommt, den Verzweigungsdivisor von ${}\varphi$.

Definition:Periodengitter

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und sei ${}{\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}$ der Dualraum des Raumes der globalen holomorphen Differentialformen auf ${}X$. Dann nennt man

${}\operatorname {Per} :={\left\{\omega \mapsto \int _{\gamma }\omega \mid \gamma \in \pi _{1}(X)\right\}}\subseteq {\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}\,$

das Periodengitter von ${}X$.

Definition:Jacobische Varietät

Zu einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche ${}X$ nennt man

${}J(X):={H^{0}(X,\Omega _{X})}^{*}/\operatorname {Per} \,,$

wobei ${}\operatorname {Per}$ das Periodengitter bezeichnet, die Jacobische Varietät zu ${}X$.