Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 13/latex
\setcounter{section}{13}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} {R[X_1 , \ldots , X_n ]/ { \left( X_n- f { \left( X_1 , \ldots , X_{n-1} \right) } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R[X_1 , \ldots , X_{n-1} ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {die Nullstellenmenge ist also der Graph zu $f$} {} {.}
Zeige auf zwei verschiedene Arten, dass
\mathl{\Omega_{ A {{|}} R }}{} ein freier
$A$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
vom
\definitionsverweis {Rang}{}{}
$n-1$ ist.
}
{} {}
Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf das Tensorprodukt von Moduln und von Algebren, siehe auch den Anhang.
\inputaufgabe
{}
{
Berechne
\mathl{\Q \otimes_{ \Z } \Z/(5)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\mathdisp {{ \left( \Z^3 \oplus { \left( \Z/(2) \right) } ^2 \oplus \Z/(3) \right) } \otimes_{ \Z } { \left( \Z^2 \oplus \Z/(2) \oplus \Z/(4) \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige die
$R$-\definitionsverweis {Modulisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R^n \otimes_{ R } R^m
}
{ \cong} { R^{nm}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mathl{{\mathfrak a}, {\mathfrak b} \subseteq R}{} seien
\definitionsverweis {Ideale}{}{.}
Zeige die
$R$-\definitionsverweis {Algebraisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R/{\mathfrak a} \otimes_{ R } R/ {\mathfrak b}
}
{ =} {R/ { \left( {\mathfrak a} + {\mathfrak b} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{S, T \subseteq R}{} seien
\definitionsverweis {multiplikative Systeme}{}{.}
Zeige die
$R$-\definitionsverweis {Algebraisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_S \otimes_{ R } R_T
}
{ =} {R_{S \cdot T}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
\definitionsverweis {kommutative Monoide}{}{} und $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige die
$R$-\definitionsverweis {Algebraisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R[M \times N]
}
{ \cong} { R[M] \otimes_{ R } R[N]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $A$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{ A_S {{|}} A }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
$A$ eine kommutative
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{ A_S {{|}} R }
}
{ \cong} { { \left( \Omega_{ A {{|}} R } \right) }
_S
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ {\mathbb C} [X,Y,Z]/ { \left( X^2+Y^3+Z^5 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den
\definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{}
mit Erzeugern und Relationen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme
\mathl{\Omega_{ {\mathbb C} {{|}} \R }}{} mit Hilfe von
Korollar 13.2.
}
{} {}