Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 13

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und

${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\left(X_{n}-f{\left(X_{1},\ldots ,X_{n-1}\right)}\right)}\,$

mit einem Polynom ${}f\in R[X_{1},\ldots ,X_{n-1}]$ (die Nullstellenmenge ist also der Graph zu ${}f$). Zeige auf zwei verschiedene Arten, dass ${}\Omega _{A{|}R}$ ein freier ${}A$- Modul vom Rang ${}n-1$ ist.

Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf das Tensorprodukt von Moduln und von Algebren, siehe auch den Anhang.

Aufgabe

Berechne ${}\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(5)$.

Aufgabe

Berechne das Tensorprodukt

${\left(\mathbb {Z} ^{3}\oplus {\left(\mathbb {Z} /(2)\right)}^{2}\oplus \mathbb {Z} /(3)\right)}\otimes _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ^{2}\oplus \mathbb {Z} /(2)\oplus \mathbb {Z} /(4)\right)}.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige die ${}R$- Modulisomorphie

${}R^{n}\otimes _{R}R^{m}\cong R^{nm}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$ seien Ideale. Zeige die ${}R$- Algebraisomorphie

${}R/{\mathfrak {a}}\otimes _{R}R/{\mathfrak {b}}=R/{\left({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}\right)}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}S,T\subseteq R$ seien multiplikative Systeme. Zeige die ${}R$- Algebraisomorphie

${}R_{S}\otimes _{R}R_{T}=R_{S\cdot T}\,.$

Aufgabe

Es seien ${}M$ und ${}N$ kommutative Monoide und ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige die ${}R$- Algebraisomorphie

${}R[M\times N]\cong R[M]\otimes _{R}R[N]\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}A$ ein kommutativer Ring und ${}S\subseteq A$ ein multiplikatives System. Zeige

${}\Omega _{A_{S}{|}A}=0\,.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra und ${}S\subseteq A$ ein multiplikatives System. Zeige, dass dann

${}\Omega _{A_{S}{|}R}\cong {\left(\Omega _{A{|}R}\right)}_{S}\,$

gilt.

Aufgabe

Beschreibe für ${}A={\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{5}\right)}$ den Modul der Kähler-Differentiale mit Erzeugern und Relationen.

Aufgabe

Bestimme ${}\Omega _{{\mathbb {C} }{|}\mathbb {R} }$ mit Hilfe von Korollar 13.2.