Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesung 13
- Kähler-Differentiale und Jacobi-Matrix
Es sei ein kommutativer Ring, es sei eine kommutative - Algebra und ein Ideal mit dem Restklassenring .
Dann ist die Sequenz
von -Moduln exakt.
Dabei geht auf und auf .
Die -lineare Abbildung
kann man auf das Ideal einschränken. Durch Tensorieren mit erhält man unter Verwendung von Proposition Anhang 6.9 (2) die -lineare Abbildung
Die Surjektivität der Abbildung rechts ist klar, da der - Modul von den , , erzeugt wird und diese von , herrühren. Ein Element geht auf und damit auf in , da das Element in selbst wird.
Es sei nun
ein Element, das in auf abbildet. Wir können
mit schreiben. Da es auf in abbildet, gilt in dem von den Symbolden , , erzeugten freien - Modul die Beziehung
wobei und die Erzeuger der Relationen für den Modul der Kähler-Differentiale ist, also gleich mit oder gleich mit und ist. Der angesprochene freie -Modul entsteht aus dem durch die , , erzeugten freien -Modul einfach dadurch, dass man die Koeffizienten aus und die zu macht. Somit gilt in diesem freien -Modul
mit , und . In wird wegen der Tensorierung zu und daher gilt dort in der Tat
Es sei ein kommutativer Ring und es sei eine kommutative endlich erzeugte - Algebra, die als
gegeben sei.
Dann ist
Dies folgt aus Lemma 12.5 und Lemma 13.1.
Es sei ein kommutativer Ring und es sei eine kommutative endlich erzeugte - Algebra, die als gegeben sei. Dann ist nach Lemma 12.4 (4)
und nach Korollar 13.2 gibt es eine exakte Sequenz
wobei
die transponierte Jacobi-Matrix (ohne Auswertung an einem Punkt) ist. Die Standardvektoren werden auf abgebildet und die Spaltenvektoren , die die Nullelemente repräsentieren, sind die Bilder der durch die Matrix gegebenen Abbildung.
Zu einer - Algebra
und einem Punkt mit zugehörigem maximalen Ideal und Lokalisierung
ist
und die Tensorierung
zur Restekörperauswertung
spielt eine besondere Rolle. Es ergibt sich ein direkter Zusammenhang zum Dualraum des extrinsischen Tangentialraumes von an . Das bedeutet, dass in natürlicher Weise der Kotangentialraum im Punkt ist.
Es sei ein Körper,
eine endlich erzeugte - Algebra und ein Punkt des zugehörigen Nullstellengebildes mit zugehörigem maximalen Ideal und Lokalisierung
Dann ist der Tangentialraum zu in in kanonischer Weise der duale Vektorraum zu .
Nach Bemerkung 12.9 gibt es eine exakte Sequenz
wobei die transponierte Jacobi-Matrix zu den ist. Wir tensorieren mit dem Restekörper und erhalten eine exakte Sequenz
von endlichdimensionalen - Vektorräumen. Die duale Sequenz dazu ist
und ebenfalls exakt. Nach Definition 3.18 ist aber der Kern der Jacobi-Matrix im Punkt der Tangentialraum an in .
Es sei ein Körper und eine lokale kommutative - Algebra und es sei die Gesamtabbildung
ein Isomorphismus.
Dann ist die Abbildung
ein - Modulisomorphismus.
Nach Lemma 13.1 liegt eine exakte Sequenz
von - Modulhomomorphismen vor. Nach Voraussetzung ist und daher . Somit ist die angegebene Abbildung surjektiv. Zum Nachweis der Injektivität betrachten wir die - duale Abbildung, also die Abbildung
und müssen zeigen, dass diese surjektiv ist (es geht um Vektorräume).
Der linke Homomorphismenmodul ist nach Lemma Anhang E.11. und Lemma 12.3 isomorph zu
Die Gesamtabbildung ordnet einer -Derivation die Abbildung
zu. Es sei nun
ein -Modulhomomorphismus. Wir müssen zeigen, dass dies von einer Derivation herkommt. Dazu betrachten wir die Abbildung
wobei den Wert von im Restklassenkörper bezeichnet, den man über die Identifizierung wieder in auffasst. Somit gehört und die Abbildung ist wohldefiniert. Eine direkte Verifizierung ähnlich zum Beweis zu Satz 23.2 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) zeigt, dass es sich um eine Derivation handelt. Diese bildet auf ab.
In der Situation von Lemma 13.4 kann man direkt eine Beziehung zwischen dem (extrinsischen) Tangentialraum, der als Kern der Jacobi-Matrix gegeben ist, und dem Dualraum zu stiften. Es sei
Dies definiert eine Abbildung
dabei wird, in analytischer Sprache, einer Funktion die Auswertung in ihrer Richtungsableitung in Richtung zugeordnet. Die Kernbedingung stellt dabei sicher, dass Funktionen aus dem Ideal auf abgebildet werden und die Abbildung auf dem maximalen Ideal des Restklassenringes wohldefiniert ist. Nach der Produktregel wird dabei auf abgebildet und es ergibt sich eine - lineare Abbildung
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