Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesung 12

Der Modul der Kähler-Differentiale

Der Tangentialraum zu einer polynomialen Abbildung ${}f\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$ mit dem Nullstellengebilde ${}V=V(f_{1},\ldots ,f_{m})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ an einem Punkt ${}P\in V$ ist

${}T_{P}V:=\operatorname {kern} \left(\operatorname {Jak} (f_{1},\ldots ,f_{m})_{P}\right)={\left\{v\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\mid \operatorname {Jak} (f_{1},\ldots ,f_{m})_{P}(v)=0\right\}}\,.$

Wenn ${}P$ ein regulärer Punkt der Abbildung ist und man den Satz über implizite Abbildungen anwenden kann, so handelt es sich um einen linearen Unterraum, dessen Dimension mit der (Mannigfaltigkeits-)Dimension von ${}V$ übereinstimmt. Diese Konstruktion ist extrinsisch, sie hängt von der Einbettung von ${}V$ in den affinen Raum ab. Wir möchten eine intrinsische Version des Tangentialraumes vorstellen, der nur von ${}V$ bzw. dem affinen Koordinatenring abhängt. Dazu führen wir den Modul der Kähler-Differentiale ein, der für jede ${}R$- Algebra ${}A$ eine duale Version des Tangentialraumes liefert.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra und ${}M$ ein ${}A$- Modul. Dann heißt eine ${}R$- lineare Abbildung

$\delta \colon A\longrightarrow M$

mit

${}\delta (ab)=a\delta (b)+b\delta (a)\,$

für alle ${}a,b\in A$ eine ${}R$-Derivation (mit Werten in ${}M$).

Die dabei verwendete Regel nennt man Leibniz-Regel. Oft ist ${}M=A$. Für den Polynomring ${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ sind beispielsweise die ${}i$-ten (formalen) partiellen Ableitungen

${\frac {\partial }{\partial X_{i}}}$

${}R$-Derivationen von ${}A$ nach ${}A$. Die Menge der Derivationen von ${}A$ nach ${}M$ ist in natürlicher Weise ein ${}A$- Modul. Er wird mit ${}\operatorname {Der} _{R}{\left(A,M\right)}$ bezeichnet.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra. Der von allen Symbolen ${}d(a)$, ${}a\in A$, erzeugte ${}A$- Modul, modulo den Identifizierungen

$d(ab)=ad(b)+bd(a){\text{ für alle }}a,b\in A$

und

$d(ra+sb)=rd(a)+sd(b){\text{ für alle }}r,s\in R{\text{ und }}a,b\in A,$

heißt Modul der Kähler-Differentiale von ${}A$ über ${}R$. Er wird mit

$\Omega _{A{|}R}$

bezeichnet.

Bei dieser Konstruktion startet man also mit dem freien ${}A$-Modul ${}F$ mit ${}da$, ${}a\in A$ als Basis und bildet den ${}A$- Restklassenmodul zu demjenigen Untermodul, der von den Elementen

$d(ab)-ad(b)-bd(a)\,(a,b\in A)$

und

$d(ra+sb)-rd(a)-sd(b)\,(r,s\in R{\text{ und }}a,b\in A)$

erzeugt wird. Die Abbildung

$d\colon A\longrightarrow \Omega _{A{|}R},\,a\longmapsto d(a)=da,$

heißt die universelle Derivation. Man prüft sofort nach, dass es sich um eine ${}R$- Derivation handelt.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra. Dann besitzt der ${}A$- Modul ${}\Omega _{A{|}R}$ der Kähler-Differentiale die folgende universelle Eigenschaft.

Zu jedem ${}A$-Modul ${}M$ und jeder ${}R$- Derivation

$\delta \colon A\longrightarrow M$

gibt es eine eindeutig bestimmte ${}A$- lineare Abbildung

$\epsilon \colon \Omega _{A{|}R}\longrightarrow M$

mit ${}\epsilon \circ d=\delta$.

Beweis

Für jedes ${}da$, ${}a\in A$, muss ${}\epsilon (da)=\delta (a)$ sein. Da die ${}da$ ein ${}A$- Modul-Erzeugendensystem von ${}\Omega _{A{|}R}$ bilden, kann es maximal nur einen solchen Homomorphismus geben.
Es sei ${}F$ der freie Modul zur Basis ${}da$, ${}a\in A$. Die Zuordnung ${}{\tilde {\epsilon }}(da)=\delta (a)$ legt nach dem Festlegungssatz einen ${}A$- Modulhomomorphismus

${\tilde {\epsilon }}\colon F\longrightarrow M$

fest. Es ist ${}\Omega _{A{|}R}=F/U$, wobei ${}U$ der von den Elementen erzeugte Untermodul ist, die die Leibnizregel und die Linearität ausdrücken. Da ${}\delta$ eine Derivation ist, wird ${}U$ unter ${}{\tilde {\epsilon }}$ auf ${}0$ abgebildet. Daher gibt es nach dem Homomorphiesatz eine eindeutige ${}A$-lineare Abbildung

$\epsilon \colon \Omega _{A{|}R}\cong F/U\longrightarrow M$

mit

${}\epsilon (da)={\tilde {\epsilon }}(da)=\delta (a)\,.$

$\Box$

Diese Aussage kann man auch so ausdrücken, dass eine natürliche ${}A$- Modulisomorphie

${}\operatorname {Der} _{R}{\left(A,M\right)}\cong \operatorname {Hom} _{A}{\left(\Omega _{A{|}R},M\right)}\,$

vorliegt. Insbesondere ist

${}\operatorname {Der} _{R}{\left(A,A\right)}\cong \operatorname {Hom} _{A}{\left(\Omega _{A{|}R},A\right)}={\Omega _{A{|}R}}^{*}\,,$

wobei rechts der Dualmodul genommen wird.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra und ${}\Omega _{A{|}R}$ der Modul der Kähler-Differentiale. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}dr=0$ für alle ${}r\in R$.
2. Man kann

   $\Omega _{A{|}R}$

   als den Restklassenmodul des freien ${}A$-Moduls zur Basis ${}da$, ${}a\in A$, modulo dem Untermodul, der von den Leibnizrelationen und von ${}dr$, ${}r\in R$, erzeugt wird, beschreiben.

3. Bei ${}A=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ ist ${}dx_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, ein ${}A$- Modulerzeugendensystem von ${}\Omega _{A{|}R}$.
4. Sei ${}A=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$. Für ein Polynom ${}F\in R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und das zugehörige Element ${}f=F{\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}\in A$ gilt in ${}\Omega _{A{|}R}$ die Beziehung

   ${}df={\frac {\partial F}{\partial x_{1}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial F}{\partial x_{n}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{n}\,,$

   wobei ${}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}$ die ${}i$-te partielle Derivation bezeichnet.

5. Zu einem kommutativen Diagramm

   ${\begin{matrix}R&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&S&\\\downarrow &&\downarrow &\\A&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&B&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

   wobei die Pfeile Ringhomomorphismen repräsentieren, gibt es eine eindeutig bestimmte ${}A$- lineare Abbildung

   $\Omega _{A{|}R}\longrightarrow \Omega _{B{|}S},\,da\longmapsto d\varphi (a).$

Beweis

1. Es sei ${}r\in R$. Wegen der ${}R$-Linearität ist ${}d(r1)=rd(1)$. Wegen der Produktregel ist

   ${}d(1)=d(1\cdot 1)=1d(1)+1d(1)\,,$

   sodass durch Subtraktion ${}d(1)=0$ folgt.

2. Wir zeigen, dass der in Frage stehende Untermodul ${}V$ mit dem Untermodul ${}U$ übereinstimmt, der von allen Leibnizrelationen und von den Linearitätsrelationen erzeugt wird. Nach Teil (1) ist die Inklusion ${}V\subseteq U$ klar. Für ${}a,b\in A$ und ${}r,s\in R$ gilt modulo ${}V$ die Gleichheit

   ${}d(ra+sb)=d(ra)+d(sb)=rda+adr+sdb+bds=rda+sdb\,,$

   sodass also auch die Linearitätsrelationen zu ${}V$ gehören.

3. Dies folgt aus der Linearität und der Leibnizregel.
4. Beide Seiten sind ${}R$-linear, sodass es genügt, die Aussage für Monome zu zeigen. Für Monome beweist man die Aussage durch Induktion über den Gesamtgrad des Monoms.
5. Da ${}B$ über ${}\varphi \colon A\rightarrow B$ eine ${}A$-Algebra ist, ist auch ${}\Omega _{B{|}S}$ ein ${}A$-Modul. Die Verknüpfung

   $A{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}B{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\Omega _{B{|}S}$

   ist eine ${}R$- Derivation, wie man unmittelbar nachrechnet. Aufgrund der universellen Eigenschaft von ${}\Omega _{A{|}R}$ gibt es eine eindeutig bestimmte ${}A$- lineare Abbildung

   ${\tilde {\varphi }}\colon \Omega _{A{|}R}\longrightarrow \Omega _{B{|}S}$

   mit ${}d\varphi (a)={\tilde {\varphi }}(da)$.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in ${}n$ Variablen über ${}R$.

Dann ist der Modul der Kähler-Differentiale der freie ${}A$- Modul zur Basis

$dX_{1},dX_{2},\ldots ,dX_{n}.$

Die universelle Derivation ist bezüglich dieser Basis durch

$A\longrightarrow AdX_{1}\oplus \cdots \oplus AdX_{n},\,F\longmapsto dF={\frac {\partial F}{\partial X_{1}}}dX_{1}+\cdots +{\frac {\partial F}{\partial X_{n}}}dX_{n},$

gegeben.

Beweis

Es sei ${}G$ der von den Symbolen ${}dX_{i}$ erzeugte freie ${}A$- Modul. Die Abbildung

$\varphi \colon G\longrightarrow \Omega _{A{|}R},$

die das Basiselement ${}dX_{i}$ auf das Differential ${}dX_{i}$ schickt, ist nach Lemma 12.4  (3) surjektiv. Die ${}i$-te partielle Ableitung

${\frac {\partial }{\partial X_{i}}}\colon A\longrightarrow A,\,F\longmapsto {\frac {\partial F}{\partial X_{i}}},$

ist eine ${}R$- Derivation, sodass es aufgrund der universellen Eigenschaft des Moduls der Differentialformen eine ${}A$- lineare Abbildung

$p_{i}\colon \Omega _{A{|}R}\longrightarrow A$

mit ${}p_{i}\circ d={\frac {\partial }{\partial X_{i}}}$ gibt. Dabei ist ${}p_{i}(dX_{i})=1$ und ${}p_{i}(dX_{j})=0$ für ${}j\neq i$. Diese Abbildungen ergeben zusammen eine ${}A$-lineare Abbildung

$p=p_{1}\times \cdots \times p_{n}\colon \Omega _{A{|}R}\longrightarrow A^{n}\cong G,$

für die ${}p\circ \varphi =\operatorname {Id} _{G}$ gilt. Daher ist ${}\varphi$ auch injektiv.

$\Box$

Im Allgemeinen ist der Modul der Kähler-Differentiale nicht frei. Wenn ${}R$ ein Körper und ${}A$ der lokale Ring zu einem Punkt auf einer Varietät ist, so charakterisiert die Freiheit des Moduls sogar, dass der Punkt glatt ist, siehe Satz 21.6 und Satz 21.7.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra und ${}S\subseteq A$ ein multiplikatives System.

Dann ist

${}\Omega _{A_{S}{|}R}\cong {\left(\Omega _{A{|}R}\right)}_{S}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 13.9.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es seien ${}A$ und ${}B$ kommutative ${}R$- Algebren und

$\varphi \colon A\longrightarrow B$

ein ${}R$- Algebrahomomorphismus.

Dann ist die Sequenz

$\Omega _{A{|}R}\otimes _{A}B\longrightarrow \Omega _{B{|}R}\longrightarrow \Omega _{B{|}A}\longrightarrow 0$

von ${}B$-Moduln exakt.

Dabei geht ${}da\otimes b$ auf ${}bd\varphi (a)$ und ${}db$ (in ${}\Omega _{B{|}R}$) auf ${}db$ (in ${}\Omega _{B{|}A}$).

Beweis

Die Surjektivität rechts ist klar. Zur Exaktheit an der zweiten Stelle verwenden wir die Beschreibung aus Lemma 12.4  (2). Die beiden Moduln ${}\Omega _{B{|}A}$ und ${}\Omega _{B{|}R}$ besitzen das gleiche Erzeugendensystem und auch die Leibnizrelationen sind für beide gleich. Der Modul ${}\Omega _{B{|}A}$ ergibt sich aus ${}\Omega _{B{|}R}$ gerade dadurch, dass man den von den ${}da$, ${}a\in A$, erzeugten ${}B$-Untermodul zu ${}0$ macht. Dieser Untermodul ist genau das Bild der Abbildung links.

$\Box$

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