Nach
Fakt
liegt eine exakte Sequenz
-
von
-Modulhomomorphismen
vor. Nach Voraussetzung ist
und daher
.
Somit ist die angegebene Abbildung surjektiv. Zum Nachweis der Injektivität betrachten wir die
-duale Abbildung,
also die Abbildung
-
und müssen zeigen, dass diese surjektiv ist
(es geht um Vektorräume).
Der linke Homomorphismenmodul ist nach
Fakt
und
Fakt
isomorph zu
-
Die Gesamtabbildung ordnet einer -Derivation
die Abbildung
-
zu. Es sei nun
-
ein -Modulhomomorphismus. Wir müssen zeigen, dass dies von einer Derivation herkommt. Dazu betrachten wir die Abbildung
-
wobei den Wert von im Restklassenkörper bezeichnet, den man über die Identifizierung
wieder in auffasst. Somit gehört
und die Abbildung ist wohldefiniert. Eine direkte Verifizierung ähnlich zum Beweis zu
Fakt
zeigt, dass es sich um eine Derivation handelt. Diese bildet auf ab.