Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesung 14

Das Jacobiideal und die Milnorzahl

Definition

Es sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom ${}\neq 0$. Man nennt

${}J_{F}:={\left(\partial _{1}F,\ldots ,\partial _{n}F\right)}\,$

das Jacobiideal von ${}F$.

Das Jacobiideal ist ein Ideal im Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Für einen Punkt ${}P=\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in V$ betrachtet man das Jacobiideal auch in der Lokalisierung ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{\left(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n}\right)}$. Da wir an lokalen Eigenschaften interessiert sind, ist diese Interpretation wichtiger.

Lemma

Es sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom ${}\neq 0$ und ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ die zugehörige Hyperfläche und ${}P\in V$.

Dann ist das Jacobiideal ${}J_{F}$ im lokalen Ring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ genau dann das Einheitsideal, wenn ${}P$ ein glatter Punkt der Hyperfläche ist.

Beweis

Die Glattheit bedeutet im Fall eines Polynoms nach der Definition einfach, dass die partiellen Ableitungen im Punkt ${}P$ insgesamt eine surjektive Abbildung

$\left((\partial _{1}F)(P),\,\ldots ,\,(\partial _{1}F)(P)\right)\colon K^{n}\longrightarrow K$

definieren. Dies ist genau dann der Fall, wenn mindestens ein Eintrag ${}\neq 0$ ist. Im lokalen Ring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ bedeutet dies, dass nicht alle partiellen Ableitungen im maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}_{P}$ enthalten sind, was genau dann der Fall ist, wenn sie das Einheitsideal erzeugen.

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John Milnor

Definition

Es sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom ${}\neq 0$, ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ die zugehörige Hyperfläche und ${}P\in V$ ein Punkt. Man nennt die ${}K$- Dimension des Restklassenringes ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}/J_{F,P}$ die Milnorzahl im Punkt ${}P$.

Aufgrund von Lemma 14.2 ist ${}P$ genau dann ein glatter Punkt der Hyperfläche, wenn seine Milnorzahl gleich ${}0$ ist. Insofern ist die Milnorzahl ein sinnvolles Singularitätsmaß.

Häufig kann man die Milnorzahl auch direkt als Dimension der Restklassenalgebra des Polynomrings ausrechnen und muss nicht in der Lokalisierung arbeiten. Dies beruht auf dem folgenden algemeinen Resultat.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}I\subseteq R$ ein Ideal, das als Radikal mit dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ übereinstimmt.

Dann ist

${}R/I\cong R_{\mathfrak {m}}/IR_{\mathfrak {m}}\,.$

Beweis

Wir haben ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}R&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R_{\mathfrak {m}}&\\\downarrow &&\downarrow &\\R/I&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R_{\mathfrak {m}}/IR_{\mathfrak {m}}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

von ${}R$- Algebrahomomorphismen. Ein Element

${}f\notin {\mathfrak {m}}\,$

ist ein Einheit in ${}R/I$. Es gibt nämlich oberhalb von ${}I+(f)$ kein maximales Ideal, da es oberhalb von ${}I$ nur ${}{\mathfrak {m}}$ gibt, und somit ist ${}I+(f)=R$. Daher gibt es ${}a\in I$ und ${}b\in R$ mit ${}a+bf=1$, was wiederum ${}bf=1$ in ${}R/I$ bedeutet. Somit gibt es nach Lemma Anhang 1.5 auch einen natürlichen ${}R$-Algebrahomomorphismus

$R_{\mathfrak {m}}\longrightarrow R/I.$

Daraus ergibt sich auch ein Algebrahomomorphismus

$R_{\mathfrak {m}}/IR_{\mathfrak {m}}\longrightarrow R/I.$

Die Hintereinanderschaltungen müssen dabei Isomorphismen sein.

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Lemma

Es sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ derart, dass ${}F$ nur einen kritischen Punkt ${}P$ besitzt.

Dann ist die Milnorzahl gleich der ${}K$- Vektorraumdimension von ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/J_{F}$.

Beweis

Nach Voraussetzung ist

${}J_{F}:={\left(\partial _{1}F,\ldots ,\partial _{n}F\right)}\subseteq {\mathfrak {m}}_{P}\,$

mit einem einzigen maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}_{P}$ zu einem Punkt ${}P\in K^{n}$. Nach Lemma 14.4 gilt

${}R/J_{F}=R_{{\mathfrak {m}}_{P}}/J_{F}R_{{\mathfrak {m}}_{P}}\,$

und somit stimmt auch die ${}K$- Dimension überein.

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Beispiel

Wir betrachten die durch ein Polynom der Form

${}F=X^{a}+Y^{b}+Z^{c}\,$

gegebene Hyperfläche im Nullpunkt (mit ${}a,b,c\geq 1$). Der Körper sei so, dass die Exponenten in ${}K$ von ${}0$ verschieden seien. Das Jacobiideal ist

${}{\left(aX^{a-1},bY^{b-1},cZ^{c-1}\right)}={\left(X^{a-1},Y^{b-1},Z^{c-1}\right)}\,.$

Im Restklassenring (vergleiche Lemma 14.5)

${}K[X,Y,Z]_{(0,0,0)}/{\left(X^{a-1},Y^{b-1},Z^{c-1}\right)}=K[X,Y,Z]/{\left(X^{a-1},Y^{b-1},Z^{c-1}\right)}\,$

bilden die Monome ${}X^{i}Y^{j}Z^{k}$ mit ${}0\leq i\leq a-1,\,0\leq j\leq b-1,\,0\leq k\leq c-1,\,$ eine ${}K$- Basis und somit ist die Milnorzahl dieser Hyperfläche gleich ${}(a-1)(b-1)(c-1)$.

Die Milnorzahl kann unendlich sein.

Beispiel

Wir betrachten die durch ein Polynom der Form

${}F=X_{1}\cdots X_{n}\,$

gegebene Hyperfläche im Nullpunkt. Das Jacobiideal ist

${}J_{F}={\left(X_{2}\cdots X_{n},X_{1}X_{3}\cdots X_{n},\ldots ,X_{1}\cdots X_{n-1}\right)}\,.$

Wir betrachten den Restklassenring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{(0,\ldots ,0)}/J_{F}$. Bei ${}n=2$ ist dieser eindimensional und die Milnorzahl ist ${}1$. Bei ${}n\geq 3$ hingegen sind die Monome

$X_{1}^{n},\,n\in \mathbb {N} ,$

linear unabhängig und daher besitzt der Restklassenring die ${}K$- Dimension unendlich. Die Milnorzahl dieser Hyperfläche ist also unendlich.

Satz

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom ${}\neq 0$, ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ die zugehörige Hyperfläche und ${}P\in V$ ein Punkt.

Dann ist die Milnorzahl im Punkt ${}P$ genau dann endlich, wenn ${}P$ eine (allenfalls) isolierte Singularität ist.

Beweis

Wir können direkt annehmen, dass ${}P$ ein singulärer Punkt der Hyperfläche ist. Dann ist

${}J_{F}\subseteq {\mathfrak {m}}_{P}\,$

im lokalen Ring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$. Wenn ${}P$ eine isolierte Singularität, so gibt es ein ${}g\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)$, ${}g\notin {\mathfrak {m}}_{P}$, in diesem Hyperflächenring derart, dass ${}P$ der einzige singuläre Punkt in ${}D(g)$. ist. Dies bedeutet nach Lemma 14.2, dass das Jacobiideal ${}J_{F}$ im Ring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}$ nur in dem einzigen maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}_{P}$ enthalten ist. Dies bedeutet nach dem Hilbertschen Nullstellensatz, dass das Radikal des Jacobiideals gleich ${}{\mathfrak {m}}_{P}$ ist. Somit gibt es ein ${}r\in \mathbb {N}$ mit

${}{\mathfrak {m}}_{P}^{r}\subseteq J_{f}\,$

in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}$. Dann gibt es einen surjektiven Algebrahomomorphismus

$K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}/{\mathfrak {m}}_{P}^{r}\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}/J_{F}$

und die Endlichkeit links impliziert die Endlichkeit rechts.

Es sei umgekehrt

$K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}/J_{F}$

endlich als ${}K$-Vektorraum. Dann hat ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}/J_{F}$ die Krulldimension ${}0$ und in diesem lokalen Ring haben ${}J_{F}$ und ${}{\mathfrak {m}}_{P}$ das gleiche Radikal, d.h. es gilt

${}{\mathfrak {m}}_{P}^{r}\subseteq J_{F}\subseteq {\mathfrak {m}}_{P}\,$

mit einem gewissen ${}r$. Diese Beziehung kann man durch endlich viele Gleichungen ausdrücken, und damit gelten sie auch in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{g}$ für ein geeignetes ${}g$, das eine offene Umgebung von ${}P$ beschreibt. Dies bedeutet wiederum, dass auf ${}D(g)$ der Punkt ${}P$ der einzige singuläre Punkt ist.

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Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}L\colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ eine lineare Abbildung und

$L\colon K[Y_{1},\ldots ,Y_{m}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$

der zugehörige ${}K$- Algebrahomomorphismus der Polynomringe.

Dann gilt für das Jacobiideal zu ${}F\in K[Y_{1},\ldots ,Y_{m}]$ die Beziehung

${}J_{F\circ L}=L{\left(J_{F}\right)}\,,$

wobei ${}L{\left(J_{F}\right)}$ das Erweiterungsideal ist.

Beweis

Die Kettenregel, angewendet auf

$K^{n}{\stackrel {L}{\longrightarrow }}K^{m}{\stackrel {F}{\longrightarrow }}K,$

liefert

${}\left({\frac {\partial {\left(F\circ L\right)}}{\partial X_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial {\left(F\circ L\right)}}{\partial X_{n}}}\right)=\left({\frac {\partial F}{\partial Y_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial F}{\partial Y_{m}}}\right)\circ L\,.$

Somit ist

${}{\frac {\partial {\left(F\circ L\right)}}{\partial X_{i}}}\in {\left({\frac {\partial F}{\partial Y_{1}}}\circ L,\ldots ,{\frac {\partial F}{\partial Y_{m}}}\circ L\right)}=L(J_{F})\,$

und

${}J_{F\circ L}\subseteq L(J_{F})\,.$

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Die Hesse-Matrix

Wir erinnern an die Hesse-Matrix. Deren Definitheitseigenschaften sind im reellen Fall entscheidend, ob in einem kritischen Punkt ein lokales Extrema der Funktion vorliegt oder nicht, siehe Satz 50.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei eine Basis ${}v_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, von ${}V$ gegeben mit den zugehörigen Richtungsableitungen ${}D_{i}:=D_{v_{i}}$, ${}i=1,\ldots ,n$. Zu ${}P\in G$ heißt dann die Matrix

${\begin{pmatrix}D_{1}D_{1}f(P)&\cdots &D_{1}D_{n}f(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\D_{n}D_{1}f(P)&\cdots &D_{n}D_{n}f(P)\end{pmatrix}}$

die Hesse-Matrix zu ${}f$ im Punkt ${}P$ bezüglich der gegebenen Basis.

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei eine Basis ${}v_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, von ${}V$ gegeben mit den zugehörigen Richtungsableitungen ${}D_{i}:=D_{v_{i}}$, ${}i=1,\ldots ,n$. Ein kritischer Punkt ${}P\in G$ heißt nichtausgeartet, wenn die Determinante der Hesse-Matrix

${\begin{pmatrix}D_{1}D_{1}f(P)&\cdots &D_{1}D_{n}f(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\D_{n}D_{1}f(P)&\cdots &D_{n}D_{n}f(P)\end{pmatrix}}$

nicht ${}0$ ist.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom und ${}P\in K^{n}$ ein kritischer Punkt von ${}F$. Dann heißt ${}P$ nichtausgeartet, wenn die Determinante der Matrix

${\left({\frac {\partial }{\partial X_{i}}}{\frac {\partial F}{\partial X_{j}}}(P)\right)}_{1\leq i,j\leq n}$

ungleich ${}0$ ist.

Die folgende Aussage brauchen wir, um Milnorzahl ${}1$ charakterisieren zu können.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und seien

${}g_{1},\ldots ,g_{n}\in {\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$

Polynome.

Dann ist die Matrix

${\left({\frac {\partial g_{j}}{\partial X_{i}}}\right)}_{1\leq i,j\leq n}$

genau dann im Nullpunkt invertierbar, wenn die Idealgleichheit

${}{\left(g_{1},\ldots ,g_{n}\right)}={\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}\,$

in der Lokalisierung ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$ gilt.

Beweis

Wir setzen ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$ und ${}{\mathfrak {m}}={\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$ in ${}R$. Die Abbildung

$R\longrightarrow {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2},\,g\longmapsto (g-g(0))$

entspricht über die Identifizierung (siehe Lemma 13.5)

${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\Omega _{R{|}K}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}\cong K^{n}\,$

der Ableitung, die wiederum in den Komponenten wegen Lemma 12.5 den partiellen Ableitungen von ${}g$ entsprechen. Somit ist die von

$\varphi \colon R^{n}\longrightarrow {\mathfrak {m}},\,e_{j}\longmapsto g_{j},$

induzierte Abbildung

$R^{n}\longrightarrow {\mathfrak {m}}\longrightarrow {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\cong K^{n}$

durch ${}e_{j}\mapsto \left({\frac {\partial g_{j}}{\partial X_{1}}}(0),\,\ldots ,\,{\frac {\partial g_{j}}{\partial X_{1}}}(0)\right)$ gegeben.

Wenn die Determinante der Matrix ungleich ${}0$ ist, so ist diese Abbildung surjektiv. Wegen dem Lemma von Nakayama ist dann bereits ${}\varphi$ surjektiv. Wenn die Determinante gleich ${}0$ ist, so ist die Gesamtabbildung nicht surjektiv und dann ist auch die vordere Abbildung nicht surjektiv.

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Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom und ${}P\in K^{n}$ ein kritischer Punkt von ${}f$.

Dann ist ${}P$ genau dann ein nichtausgearteter kritischer Punkt, wenn die partiellen Ableitungen ${}\partial _{i}f$ in der Lokalisierung ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ das maximale Ideal erzeugen, wenn also das Jacobiideal im Punkt ${}P$ mit dem maximalen Ideal übereinstimmt, und dies ist genau dann der Fall, wenn die Milnorzahl von ${}f$ in ${}P$ gleich ${}1$ ist.

Beweis

Wende Lemma 14.13 auf

${}g_{j}:={\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\,$

an.

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