Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 14
Es sei ein Körper und ein Polynom. Zeige, dass ein Punkt genau dann ein kritischer Punkt von ist, wenn das maximale Ideal das Jacobiideal umfasst.
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei und . Zeige, dass genau dann eine mehrfache Nullstelle von ist, wenn ist, wobei die formale Ableitung von bezeichnet.
Es sei ein Körper und ein Polynom. Bringe die Begriffe kritischer Punkt von , Nullstelle der Ableitung und maximales Ideal oberhalb des Jacobiideals miteinander in Verbindung.
Es sei ein Körper und ein Polynom. Es sei eine Nullstelle von . Zeige, dass die Vielfachheit der Nullstelle um größer als die Milnorzahl von in ist.
Bestimme die Milnorzahl für die Kurven im Nullpunkt.
Bestimme die Milnorzahl für die zweidimensionalen ADE-Singularitäten.
Es sei ein Körper mit einer Charakteristik . Es sei ein Polynom. Zeige, dass die Milnorzahl von im Nullpunkt mit der Milnorzahl des Polynoms im Nullpunkt übereinstimmt.
Es sei ein Polynom in den Variablen und ein Polynom in den Variablen . Wir interessieren uns für die Summe (in den Variablen ).
- Sowohl als auch definieren eine isolierte Singularität im Nullpunkt. Zeige, dass auch eine isolierte Singularität im Nullpunkt definiert.
- Zeige, dass die Milnorzahl von (im Nullpunkt) das Produkt der Milnorzahlen der beiden Polynome und ist.
Zeige, dass
die Voraussetzung von Lemma 14.13 erfüllt, und dass daher in gilt, dass dies aber nicht in gilt.
Es sei ein maximales Ideal in einem kommutativen Ring . Es sei die Lokalisierung von an und es sei das maximale Ideal von . Zeige .
Bestimme den Typ der Hesse-Form zur Funktion
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, eine offene Menge und
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass die Hesse-Form von in jedem Punkt symmetrisch ist.
Man gebe für vorgegebene natürliche Zahlen mit eine zweimal stetig differenzierbare Funktion
deren Hesse-Form im Nullpunkt den Typ besitzt.
Berechne die Hesse-Matrix zu im Nullpunkt.
Berechne die Hesse-Matrix zu den zweidimensionalen ADE-Singularitäten im Nullpunkt.
Es sei ein reelles Polynom und ein kritischer Punkt. Beweise Lemma 14.14 mit Hilfe von [[Bilinearform/Symmetrisch/Typ/Trägheitssatz/Fakt|Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Bilinearform/Symmetrisch/Typ/Trägheitssatz/Fakt/Faktreferenznummer (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))]], angewendet auf die Hesse-Matrix von .
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