Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 18/latex
\setcounter{section}{18}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} {V_0
}
{ \subset} { V_1
}
{ \subset \ldots \subset} { V_{n-1}
}
{ \subset} {V_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {V
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
eine
\definitionsverweis {Fahne}{}{}
in einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_{i+1}/V_{i}
}
{ \cong} { K
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mathl{i=0 , \ldots , n-1}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} {V_0
}
{ \subset} {V_1
}
{ \subset \ldots \subset} { V_{n-1}
}
{ \subset} { V_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {V
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
eine
\definitionsverweis {Fahne}{}{}
in einem
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$. Wir betrachten $V$ als reellen Vektorraum der reellen Dimension $2n$. Zeige, dass es reelle Untervektorräume
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W_i
}
{ \subseteq} { V
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ \subset} {W_1
}
{ \subset} {V_1
}
{ \subset} {W_2
}
{ \subset} {V_2
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ \subset \ldots \subset} {V_{n-1}
}
{ \subset} {W_n
}
{ \subset} {V_n
}
{ } {}
}{}{}
eine reelle Fahne ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \neq }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
der Dimension $n$. Zeige, dass es eine Kette von
\definitionsverweis {abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M_0
}
{ \subseteq} { M_1
}
{ \subseteq} { M_2
}
{ \subseteq \ldots \subseteq} { M_{n-1}
}
{ \subseteq} { M_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { M
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
derart gibt, dass die abgeschlossene Untermannigfaltigkeit $M_i$ die Dimension $i$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{,} der kein \definitionsverweis {Körper}{}{} sei. Zeige, dass die \definitionsverweis {Krulldimension}{}{} von $R$ gleich eins ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Primideal}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Dimension}{}{} von ${\mathfrak p}$ gleich der \definitionsverweis {Dimension}{}{} des \definitionsverweis {Restklassenringes}{}{} $R/{\mathfrak p}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Primideal}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Höhe}{}{} von ${\mathfrak p}$ gleich der \definitionsverweis {Dimension}{}{} der \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} $R_{\mathfrak p}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungfuenf{$R$ hat
\definitionsverweis {Krulldimension}{}{}
$0$.
}{$R$ ist ein
\definitionsverweis {artinscher Ring}{}{.}
}{$R$ besitzt endlich viele
\definitionsverweis {Primideale}{}{,}
die alle
\definitionsverweis {maximal}{}{}
sind.
}{Es gibt eine natürliche Zahl $n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für jedes maximale Ideal ${\mathfrak m}$.
}{Die
\definitionsverweis {Reduktion}{}{}
von $R$ ist ein Produkt von Körpern.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {\varphi} {R} {S } {} ein \definitionsverweis {surjektiver}{}{} \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} zwischen den \definitionsverweis {Integritätsbereichen}{}{} \mathkor {} {R} {und} {S} {.} Die \definitionsverweis {Krulldimension}{}{} dieser Ringe sei endlich und gleich. Zeige, dass dann $\varphi$ ein \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(R, {\mathfrak m} )}{} ein
\definitionsverweis {noetherscher}{}{}
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{.}
Zeige, dass aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^{n+1}
}
{ = }{ {\mathfrak m}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}