Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 18
Es sei
eine Fahne in einem - Vektorraum . Wir betrachten als reellen Vektorraum der reellen Dimension . Zeige, dass es reelle Untervektorräume
derart gibt, dass
eine reelle Fahne ist.
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension . Zeige, dass es eine Kette von abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten
derart gibt, dass die abgeschlossene Untermannigfaltigkeit die Dimension besitzt.
Es sei ein Hauptidealbereich, der kein Körper sei. Zeige, dass die Krulldimension von gleich eins ist.
Es sei ein kommutativer Ring und ein Primideal. Zeige, dass die Dimension von gleich der Dimension des Restklassenringes ist.
Es sei ein kommutativer Ring und ein Primideal. Zeige, dass die Höhe von gleich der Dimension der Lokalisierung ist.
Es sei ein noetherscher kommutativer Ring. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
- hat Krulldimension .
- ist ein artinscher Ring.
- besitzt endlich viele Primideale, die alle maximal sind.
- Es gibt eine natürliche Zahl mit für jedes maximale Ideal .
- Die Reduktion von ist ein Produkt von Körpern.
Es sei ein surjektiver Ringhomomorphismus zwischen den Integritätsbereichen und . Die Krulldimension dieser Ringe sei endlich und gleich. Zeige, dass dann ein Isomorphismus ist.
Es sei ein noetherscher lokaler Ring. Zeige, dass aus folgt, dass ist.
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