Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 17


Es sei ein Ideal in einem kommutativen Ring . Zeige, dass die Multiplikation auf dem assoziierten graduierten Ring wohldefiniert ist.



Es sei der Polynomring über einem Körper und . Zeige, dass der zugehörige assoziierte graduierte Ring isomorph zum Polynomring ist.



Es sei eine Primzahl und der zugehörige lokale Ring mit dem maximalen Ideal . Bestimme den assoziierten graduierten Ring zu .



Es sei ein Ideal in einem kommutativen Ring . Zeige, dass durch

wobei die Restklasse von in bezeichnet, ein surjektiver graduierter - Algebrahomomorphismus gegeben ist.



Bestimme zu einer monomialen ebenen Kurve den assoziierten graduierten Ring , mit und .



Es sei und sei . Wir setzen

wobei die Restklasse von modulo bezeichnet. Es sei mit der homogenen Zerlegung

Zeige, dass zum Kern von gehört.



Es sei mit einem homogenen Ideal und sei . Zeige



Es sei mit der homogenen Zerlegung und sei . Zeige


Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal. Zu einem Untermodul eines - Moduls bezeichnet man mit den von allen Produkten

erzeugten Untermodul.



Es seien Ideale in einem kommutativen Ring. Zeige, dass das Idealprodukt mit dem Produkt aus dem Ideal und dem - Untermodul übereinstimmt.



Es seien Ideale in einem kommutativen Ring und ein - Untermodul eines - Moduls . Zeige



Es seien Ideale in einem kommutativen Ring und sei ein - Untermodul eines - Moduls . Zeige



Es sei ein Ideal in einem kommutativen Ring und seien - Untermoduln eines - Moduls . Zeige



Es sei ein Homomorphismus zwischen den - Moduln und und sei ein Ideal. Zeige, dass dies in natürlicher Weise zu einem homogenen Homomorphismus

führt.



Es sei die homogene Zerlegung eines Polynoms mit und es sei . Zeige, dass für jedes die Multiplikationsabbildung

einen injektiven, wohldefinierten - Modulhomomorphismus

festlegt.



Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal mit dem Restklassenring

Zeige, dass die Ideale von eindeutig denjenigen Idealen von entsprechen, die umfassen.



Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal mit dem Restklassenring . Zu einem Ideal welches enthält, sei das zugehörige Ideal in . Zeige, dass es eine kanonische Ringisomorphie

gibt.



Es sei ein kommutativer Ring mit zwei Idealen . Es sei und das Bildideal. Zeige, dass ist.



Es sei ein kommutativer Ring und sei ein - Modul mit - Untermoduln . Zeige, dass die Restklassenmoduln durch die kurze exakte Sequenz

miteinander in Beziehung stehen.



Es sei ein kommutativer Ring und seien Ideale. Zeige, dass die Sequenz

mit und exakt ist.



Bestimme die Hilbert-Samuel-Multiplizität der zweidimensionalen ADE-Singularitäten.



Es sei ein noetherscher lokaler Ring mit Hilbert-Samuel-Multiplizität . Bestimme die Hilbert-Samuel-Multiplizität des - Moduls .



Es sei ein simplizialer Komplex, der zugehörige Stanley-Reisner-Ring und die Lokalisierung von am maximalen Ideal . Die Dimension von sei und besitze Facetten. Zeige, dass die Hilbert-Samuel-Multiplizität von gleich ist.



Es sei

die homogene Zerlegung eines Polynoms und

der zugehörige lokale Ring. Zeige, dass der Obergrad keine Invariante des lokalen Ringes ist.



Es sei .

  1. Bestimme die glatten Punkte von .
  2. Skizziere und den singulären Ort von .
  3. Analysiere das Schnittverhalten von mit beliebigen Ebenen.
  4. Analysiere das Schnittverhalten von mit beliebigen Geraden.
  5. Berechne die Hilbert-Funktion des Koordinatenringes für die Argumente .
  6. Was ist die Hilbert-Samuel-Multiplizität des lokalen Ringes ?



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