Es sei F = F m + ⋯ + F r {\displaystyle {}F=F_{m}+\cdots +F_{r}} die homogene Zerlegung eines Polynoms F ∈ K [ X 1 , … , X n ] {\displaystyle {}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]} mit m ≤ r {\displaystyle {}m\leq r} und es sei m = ( X 1 , … , X n ) {\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})} . Zeige, dass für jedes d ≥ m {\displaystyle {}d\geq m} die Multiplikationsabbildung
einen injektiven, wohldefinierten K [ X 1 , … , X n ] {\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]} -Modulhomomorphismus
festlegt.
die
homogene Zerlegung
eines Polynoms
![{\displaystyle {}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb9907eef7712dd23f5765db372457691aa7d626)
mit
und es sei
.
Zeige, dass für jedes
die Multiplikationsabbildung
![{\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}],\,G\longmapsto FG,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7570f919b51b514b899839551d8e25ed03ea5fdc)
![{\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96607693c80a38f197b1443eb366df0a6bbef1c3)
-Modulhomomorphismus
![{\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {m}}^{d-m}\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {m}}^{d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b81ef8e9ecd6b803416aefd5622edaa0958a23d)
