Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 19

Aufgabe

Man gebe für die Ringe der zweidimensionalen ADE-Singularitäten jeweils eine Primidealkette der Länge ${}2$ an.

Aufgabe

Man gebe für den Ring ${}K[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)$ eine Primidealkette der Länge ${}3$ an.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring von endlicher Krulldimension ${}d$. Zeige, dass die Krulldimension des Polynomrings ${}R[X]$ mindestens ${}d+1$ ist.

Aufgabe

Betrachte ${}X^{2}+Y^{2}\in \mathbb {R} [X,Y]$. Die Nullstellenmenge ${}V(X^{2}+Y^{2})\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ besteht aus dem einzigen Punkt ${}(0,0)$, durch die eine Gleichung geht also die Dimension von ${}2$ auf ${}0$ runter. Warum widerspricht das nicht dem Krullschen Hauptidealsatz?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}{\mathfrak {m}}={\left(X_{1}-a_{1},X_{2}-a_{2},\ldots ,X_{n}-a_{n}\right)}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Punktideal im Polynomring. Zeige, dass die Höhe von ${}{\mathfrak {m}}$ gleich ${}n$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}{\mathfrak {m}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein maximales Ideal im Polynomring. Zeige, dass es eine endliche Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ und ein Punktideal

${}{\mathfrak {n}}={\left(X_{1}-b_{1},\ldots ,X_{n}-b_{n}\right)}\subset L[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$

derart gibt, dass

${}{\mathfrak {m}}={\mathfrak {n}}\cap K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$

ist.

Aufgabe

Begründe, dass ${}K[x,y]\subseteq K[x,y,z]/(xy-z^{n})$ endlich ist. Wie sieht es über ${}K[x,z]$ bzw. ${}K[y,z]$ aus?

Aufgabe

Begründe, dass ${}K[y,z]\subseteq K[x,y,z]/(x^{2}+yz^{2}+z^{m+1})$ endlich ist. Wie sieht es über ${}K[x,y]$ bzw. ${}K[x,z]$ aus?

Aufgabe

Es sei ${}R\subseteq S$ eine endliche Ringerweiterung und ${}f\in S$ ein Nichtnullteiler. Zeige, dass ${}R\cap (f)$ nicht das Nullideal ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass ${}R\subseteq R[X]/{\left(X^{2}\right)}=:S$ eine endliche Ringerweiterung ist und dass die Restklasse ${}[X]\in S$ nicht ${}0$ ist, dass aber ${}R\cap ([X])$ das Nullideal ist.

Aufgabe

Zeige, dass

${}K[X+Y]\subseteq K[X,Y]/{\left(XY\right)}\,$

endlich ist.

Aufgabe

1. Zeige, dass

   ${}K[X+Y,Z]\subseteq K[X,Y,Z]/(XY,XZ)\,$

   endlich ist.

2. Zeige, dass ${}X+Y$ und ${}Z$ algebraisch unabhängige Elemente in ${}K[X,Y,Z]/(XY,XZ)$ sind.
3. Bestimme für die beiden minimalen Primideale ${}(X)$ und ${}(Y,Z)$ die Durchschnitte mit ${}K[X+Y,Z]$.

Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass Korollar 19.8 nicht gilt, wenn man beliebige Nenneraufnahmen erlaubt.

Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass Korollar 19.8 nicht gilt, wenn man Algebren betrachten, die nicht vom endlichen Typ sind.

Aufgabe

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein noetherscher lokaler Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul der Dimension ${}d$. Zeige, dass der Limes

$\lim _{n\rightarrow \infty }d!{\frac {\dim _{R/{\mathfrak {m}}}{\left(M/{\mathfrak {m}}^{n}M\right)}}{n^{d}}}$

existiert und mit der Hilbert-Samuel-Multiplizität von ${}M$ übereinstimmt.