Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 20

Aufgabe

Beschreibe für je zwei (einschließlich dem Fall, dass das Produkt mit sich selbst genommen wird) der folgenden geometrischen Mengen die Produktmengen.

1. Ein Geradenstück ${}I$.
2. Eine Kreislinie ${}K$.
3. Eine Kreisscheibe ${}D$.
4. Eine Parabel ${}P$.

Welche Produktmengen lassen sich als eine Teilmenge im Raum realisieren, welche nicht?

Unter dem Produkt der topologischen Räume ${}X$ und ${}Y$ versteht man die Produktmenge ${}X\times Y$ zusammen mit derjenigen Topologie (genannt Produkttopologie), bei der eine Teilmenge ${}W\subseteq X\times Y$ genau dann offen ist, wenn man sie als Vereinigung von Produktmengen der Form ${}U\times V$ mit offenen Mengen ${}U\subseteq X$ und ${}V\subseteq Y$ schreiben kann.

Aufgabe

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume. Zeige, dass die Produkttopologie auf ${}X\times Y$ die kleinste Topologie ist, bezüglich der die beiden Projektionen ${}X\times Y\rightarrow X$ und ${}X\times Y\rightarrow Y$ stetig sind.

Aufgabe

Es seien ${}(M_{1},d_{1})$ und ${}(M_{2},d_{2})$ metrische Räume. Zeige, dass auf der Produktmenge ${}M_{1}\times M_{2}$ durch

${}d((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))={\sqrt {d_{1}(x_{1},y_{1})^{2}+d_{2}(x_{2},y_{2})^{2}}}\,$

eine Metrik gegeben ist, und dass die dadurch definierte Topologie mit der Produkttopologie übereinstimmt.

Aufgabe

Es seien ${}X$ und ${}Y$ diskrete topologische Räume. Zeige, dass auch der Produktraum diskret ist.

Aufgabe

Zeige, dass ${}\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}$ diffeomorph zu einem Produkt aus eindimensionalen Mannigfaltigkeiten ist.

Aufgabe

Es seien ${}M_{1}\subseteq N_{1}$ und ${}M_{2}\subseteq N_{2}$ abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten. Zeige, dass ihr Produkt ${}M_{1}\times M_{2}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}N_{1}\times N_{2}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}0<r<R$ und sei

$T={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}=r^{2}\right\}}.$

Zeige, dass die Abbildung

$S^{1}\times S^{1}\longrightarrow T,\,(\varphi ,\psi )\longmapsto ((R+r\cos \psi )\cos \varphi ,(R+r\cos \psi )\sin \varphi ,r\sin \psi )$

eine Bijektion ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Vertauschungsabbildung

$M\times M\longrightarrow M\times M,\,(P,Q)\longmapsto (Q,P),$

ein Diffeomorphismus ist.

Aufgabe

Wir schließen an Bemerkung 18.1 an. Die Hintereinanderschaltung

$V\times W{\stackrel {f\times g}{\longrightarrow }}K\times K{\stackrel {+}{\longrightarrow }}K$

nennen wir ${}f\oplus g$. Zeige

${}f\oplus g={\left(f\otimes 1\right)}+{\left(1\otimes g\right)}\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}I$ und ${}J$ endliche Indexmengen. Zeige, dass die Abbildung

$\operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}\times \operatorname {Abb} \,{\left(J,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(I\times J,K\right)},\,(f,g)\longmapsto f\otimes g,$

mit

${}(f\otimes g)(i,j):=f(i)\cdot g(j)\,$

multilinear ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}X$ und ${}Y$ endliche Mengen. Zeige, dass man jede Funktion

$h\colon X\times Y\longrightarrow K$

in der Form

${}h=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\cdot g_{i}\,$

mit Funktionen

${}f_{i}\colon X\rightarrow K$ und ${}g_{i}\colon Y\rightarrow K$ schreiben kann.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass man nicht jede Funktion

$h\colon \mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow K$

in der Form

${}h=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\cdot g_{i}\,$

mit Funktionen

${}f_{i}\colon \mathbb {N} \rightarrow K$ und ${}g_{i}\colon \mathbb {N} \rightarrow K$ schreiben kann.

Aufgabe

Zeige, dass man nicht jede stetige Funktion

$h\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

in der Form

${}h=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\cdot g_{i}\,$

mit stetigen Funktionen

${}f_{i},g_{i}\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ schreiben kann.

Aufgabe

Zeige, dass man die Funktion

$h\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\sqrt {x^{2}+y^{2}}},$

nicht in der Form

${}h=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\cdot g_{i}\,$

mit stetigen Funktionen

${}f_{i},g_{i}\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ schreiben kann.

Aufgabe

Seien ${}V$ und ${}W$ affin-algebraische Mengen und sei ${}x\in V$ ein Punkt. Beschreibe das Ideal zu ${}x\times W$ im Koordinantering zu ${}V\times W$.

Aufgabe

Seien ${}V$ und ${}W$ affin-algebraische Mengen, sei ${}x\in V$ ein Punkt und sei

$W\longrightarrow V\times W,\,y\longmapsto (x,y).$

Beschreibe diese Abbildung auf der Ebene der Koordinatenringe.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}V$ und ${}W$ affin-algebraische Mengen über ${}K$ der Dimension ${}r$ bzw. ${}s$. Zeige, dass die Produktvarietät die Dimension ${}r+s$ besitzt.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Kurve ${}C\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ derart, dass es auf ihr Punkte ${}P_{1},P_{2},P_{3}\in C$ gibt, deren Einbettungsdimensionen gleich ${}1,2,3$ sind.

Aufgabe

Es sei ${}R$ der lokale Ring zum Überkreuzungspunkt des dreidimensionalen Achsenkreuzes. Bestimme dessen Einbettungsdimension.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein noetherscher lokaler Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul mit einer Summenzerlegung ${}M=M_{1}\oplus M_{2}$. Zeige, dass für die minimale Erzeugendenzahl die Beziehung

${}\mu (M)=\mu (M_{1})+\mu (M_{2})\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,L\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,N\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von ${}R$- Moduln. Es gebe ein ${}R$- Modul-Erzeugendensystem von ${}L$ mit ${}k$ Elementen und ein ${}R$-Modul-Erzeugendensystem von ${}N$ mit ${}n$ Elementen. Zeige, dass es ein ${}R$-Modul-Erzeugendensystem von ${}M$ mit ${}k+n$ Elementen gibt.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein noetherscher lokaler Ring. Man gebe ein Beispiel für eine kurze exakte Sequenz

$0\longrightarrow M_{1}\longrightarrow M\longrightarrow M_{2}\longrightarrow 0$

von endlich erzeugten ${}R$- Moduln derart, dass für die minimale Erzeugendenzahl

${}\mu (M)\neq \mu (M_{1})+\mu (M_{2})\,$

gilt.