Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 19/latex
\setcounter{section}{19}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe für die Ringe der zweidimensionalen ADE-Singularitäten jeweils eine \definitionsverweis {Primidealkette}{}{} der Länge $2$ an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe für den Ring
\mathl{K[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)}{} eine
\definitionsverweis {Primidealkette}{}{}
der Länge $3$ an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
von endlicher
\definitionsverweis {Krulldimension}{}{}
$d$. Zeige, dass die Krulldimension des
\definitionsverweis {Polynomrings}{}{}
$R[X]$ mindestens
\mathl{d+1}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X^2+Y^2
}
{ \in }{ \R[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Nullstellenmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V(X^2+Y^2)
}
{ \subseteq }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besteht aus dem einzigen Punkt
\mathl{(0,0)}{,} durch die eine Gleichung geht also die Dimension von $2$ auf $0$ runter. Warum widerspricht das nicht
dem Krullschen Hauptidealsatz?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{{ \left( X_1 -a_1, X_2-a_2 , \ldots , X_n -a_n \right) }
}
{ \subseteq }{ K[X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Punktideal}{}{}
im Polynomring. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Höhe}{}{}
von ${\mathfrak m}$ gleich $n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ \subseteq }{ K[X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
im Polynomring. Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ein
\definitionsverweis {Punktideal}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak n}
}
{ =} { { \left( X_1-b_1 , \ldots , X_n-b_n \right) }
}
{ \subset} { L [X_1 , \ldots , X_n]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ =} { {\mathfrak n} \cap K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Begründe, dass
\mathl{K[x,y] \subseteq K[x,y,z]/(xy-z^n)}{}
\definitionsverweis {endlich}{}{} ist. Wie sieht es über
\mathl{K[x,z]}{} bzw.
\mathl{K[y,z]}{} aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Begründe, dass
\mathl{K[y,z] \subseteq K[x,y,z]/(x^2+yz^2+z^{m+1})}{}
\definitionsverweis {endlich}{}{} ist. Wie sieht es über
\mathl{K[x,y]}{} bzw.
\mathl{K[x,z]}{} aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Ringerweiterung}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{R \cap (f)}{} nicht das Nullideal ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{R[X]/ { \left( X^2 \right) }
}
{ \defeqr }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Ringerweiterung}{}{}
ist und dass die Restklasse
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{[X]
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht $0$ ist, dass aber
\mathl{R \cap ([X])}{} das Nullideal ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K[X+Y]
}
{ \subseteq} { K[X,Y]/ { \left( XY \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {endlich}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K[X+Y, Z]
}
{ \subseteq} { K[X,Y,Z]/(XY,XZ)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {endlich}{}{}
ist.
}{Zeige, dass
\mathkor {} {X+Y} {und} {Z} {}
\definitionsverweis {algebraisch unabhängige}{}{}
Elemente in $K[X,Y,Z]/(XY,XZ)$ sind.
}{Bestimme für die beiden
\definitionsverweis {minimalen Primideale}{}{}
\mathkor {} {(X)} {und} {(Y,Z)} {}
die Durchschnitte mit
\mathl{K[X+Y,Z]}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige durch ein Beispiel, dass Korollar 19.8 nicht gilt, wenn man beliebige Nenneraufnahmen erlaubt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige durch ein Beispiel, dass Korollar 19.8 nicht gilt, wenn man Algebren betrachten, die nicht vom endlichen Typ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $(R, {\mathfrak m})$ ein noetherscher lokaler Ring und $M$ ein
\definitionsverweis {endlich erzeugter}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$d$. Zeige, dass der Limes
\mathdisp {\lim_{n \rightarrow \infty} d! { \frac{ \dim_{ R/{\mathfrak m} } { \left( M/{\mathfrak m}^nM \right) } }{ n^d } }} { }
existiert und mit der
\definitionsverweis {Hilbert-Samuel-Multiplizität}{}{}
von $M$ übereinstimmt.
}
{} {}