Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 22/latex
\setcounter{section}{22}
\inputaufgabe
{}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{K[X,Y,W,Z]/(XY-ZW)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ = }{ (X,Z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass das maximale Ideal
\mathl{{\mathfrak p} R_{\mathfrak p}}{} durch ein Element erzeugt wird, dass aber ${\mathfrak p}$ weder in $R$ noch in $R_{(X,Y,Z,W)}$ durch ein Element erzeugt wird
\zusatzklammer {und zwar auch nicht als Radikal} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei eine
\definitionsverweis {Blockmatrix}{}{}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Rang}{}{}
von $M$ gleich der Summe der Ränge von $A$ und von $B$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die Diagonale auf dem Torus \zusatzklammer {in seiner dreidimensionalen Realisierung} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {Hausdorff-Raum}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Diagonale}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle
}
{ =} {{ \left\{ (x,y) \in X \times X \mid x = y \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Teilmenge}{}{}
im
\definitionsverweis {Produktraum}{}{}
\mathl{X \times X}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
und
\maabbeledisp {\varphi} {M} {M \times M
} {x} {(x,x)
} {,}
die
\definitionsverweis {Diagonalabbildung}{}{}
in das
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathl{M \times M}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {Diagonale}{}{}
$\varphi(M)$ eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Diagonale
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Delta
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } \times { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch $n$ Polynome beschrieben wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $V$ eine \definitionsverweis {affin-algebraische Menge}{}{} über $K$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Diagonale}{}{} \maabbeledisp {} {V} { V \times V } {P} { (P,P) } {,} eine \definitionsverweis {abgeschlossene Einbettung}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
sei $V$ eine
\definitionsverweis {affin-algebraische Menge}{}{}
über $K$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{D(g)
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Zariski-offene affine Teilmenge. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U \times U
}
{ \subseteq} {V \times V
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ebenfalls eine affine offene Teilmenge ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {affine Varietäten}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine durch Polynome gegebene Abbildung. Zeige, dass der Graph der Abbildung eine abgeschlossene Teilmenge in der
\definitionsverweis {Produktvarietät}{}{}
\mathl{V \times W}{} ist.
}
{} {}
Die folgenden Aufgabe beschäftigen sich mit der Frage, inwiefern eine Eigenschaft, die \anfuehrung{lokal}{} im lokalen Ring zu einem Punkt $P$ einer Varietät $V$ gilt, bereits \anfuehrung{global}{} in einer
\zusatzklammer {Zariski} {} {-}offenen affinen Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ U
}
{ = }{ D(g)
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
}
{}{}{}
des Punktes gilt. Wenn $R$ der Koordinantering zu $V$ ist, so ist die Nenneraufnahme $R_g$ der Koordinantering zu $D(g)$. Beachte, dass man bei diesem Übergang innerhalb der endlich erzeugten $K$-Algebren bleibt und sich nach
Korollar 19.8
auch die Dimension nicht ändert.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {glatter Punkt}{}{}
einer
\definitionsverweis {affin-algebraischen Menge}{}{}
$V$. Zeige, dass es eine offene affine Umgebung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
derart gibt, dass $U$ in jedem Punkt glatt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
In der
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
$R_S$ gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} R_S
}
{ =} { { \left( f_1 , \ldots , f_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_1 , \ldots , a_n
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} R_g
}
{ =} { { \left( a_1 , \ldots , a_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
$M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Der $R_S$-Modul $M_S$ werde durch $n$ Elemente erzeugt. Zeige, dass es dann ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass auch der $S_g$-Modul $M_g$ durch $n$ Elemente erzeugt wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ der lokale Ring zu einer affinen Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Beweise Satz 18.8 mit Hilfe von Korollar 22.10. Welche Verschärfung gilt dabei für die Parameter?
}
{} {}