Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 22

Aufgabe

Sei ${}R=K[X,Y,W,Z]/(XY-ZW)$ und ${}{\mathfrak {p}}=(X,Z)$. Zeige, dass das maximale Ideal ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ durch ein Element erzeugt wird, dass aber ${}{\mathfrak {p}}$ weder in ${}R$ noch in ${}R_{(X,Y,Z,W)}$ durch ein Element erzeugt wird (und zwar auch nicht als Radikal).

Aufgabe

Es sei eine Blockmatrix der Form

${}M={\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}}\,$

gegeben. Zeige, dass der Rang von ${}M$ gleich der Summe der Ränge von ${}A$ und von ${}B$ ist.

Aufgabe

Skizziere die Diagonale auf dem Torus (in seiner dreidimensionalen Realisierung).

Aufgabe *

Es sei ${}X$ ein Hausdorff-Raum. Zeige, dass die Diagonale

${}\triangle ={\left\{(x,y)\in X\times X\mid x=y\right\}}\,$

eine abgeschlossene Teilmenge im Produktraum ${}X\times X$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$\varphi \colon M\longrightarrow M\times M,\,x\longmapsto (x,x),$

die Diagonalabbildung in das Produkt ${}M\times M$. Zeige, dass die Diagonale ${}\varphi (M)$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Diagonale ${}\Delta \subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\times {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ durch ${}n$ Polynome beschrieben wird.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ eine affin-algebraische Menge über ${}K$. Zeige, dass die Diagonale

$V\longrightarrow V\times V,\,P\longmapsto (P,P),$

eine abgeschlossene Einbettung ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, sei ${}V$ eine affin-algebraische Menge über ${}K$ und sei ${}U=D(g)\subseteq V$ eine Zariski-offene affine Teilmenge. Zeige, dass

${}U\times U\subseteq V\times V\,$

ebenfalls eine affine offene Teilmenge ist.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ affine Varietäten und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine durch Polynome gegebene Abbildung. Zeige, dass der Graph der Abbildung eine abgeschlossene Teilmenge in der Produktvarietät ${}V\times W$ ist.

Die folgenden Aufgabe beschäftigen sich mit der Frage, inwiefern eine Eigenschaft, die „lokal“ im lokalen Ring zu einem Punkt ${}P$ einer Varietät ${}V$ gilt, bereits „global“ in einer (Zariski)-offenen affinen Umgebung ${}P\in U=D(g)\subseteq V$ des Punktes gilt. Wenn ${}R$ der Koordinantering zu ${}V$ ist, so ist die Nenneraufnahme ${}R_{g}$ der Koordinantering zu ${}D(g)$. Beachte, dass man bei diesem Übergang innerhalb der endlich erzeugten ${}K$-Algebren bleibt und sich nach Korollar 19.8 auch die Dimension nicht ändert.

Aufgabe

Es sei ${}P\in V$ ein glatter Punkt einer affin-algebraischen Menge ${}V$. Zeige, dass es eine offene affine Umgebung ${}P\in U\subseteq V$ derart gibt, dass ${}U$ in jedem Punkt glatt ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. In der Nenneraufnahme ${}R_{S}$ gelte

${}{\mathfrak {a}}R_{S}={\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\,.$

Zeige, dass es ein ${}g\in S$ und Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$ mit

${}{\mathfrak {a}}R_{g}={\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}\,$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}M$ ein ${}R$- Modul und ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Der ${}R_{S}$-Modul ${}M_{S}$ werde durch ${}n$ Elemente erzeugt. Zeige, dass es dann ein ${}g\in S$ derart gibt, dass auch der ${}S_{g}$-Modul ${}M_{g}$ durch ${}n$ Elemente erzeugt wird.

Aufgabe

Es sei ${}R$ der lokale Ring zu einer affinen Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Beweise Satz 18.8 mit Hilfe von Korollar 22.10. Welche Verschärfung gilt dabei für die Parameter?