Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 26/latex
\setcounter{section}{26}
Wir besprechen zuerst algebraische Automorphismen des affinen Raumes und Äquivalenzkonzepte für polynomiale Funktionen und Varietäten. Diese sind sehr viel starrer als die entsprechenden holomorphen Konzepte.
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine bijektive \definitionsverweis {polynomiale Abbildung}{}{} \maabbdisp {} { {\mathbb A}^{1}_{K} } {{\mathbb A}^{1}_{K} } {,} deren \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} nicht polynomial ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein
$K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {K[X]} {K[X]
} {}
durch
\mathl{X \mapsto aX+b}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben ist
\zusatzklammer {also durch eine
\definitionsverweis {affin-lineare}{}{}
Variablentransformation} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{F \in K[X]}{} ein Polynom. Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{2}_{K} } { {\mathbb A}^{2}_{K}
} {(x,y)} {(x,y+F(x))
} {,}
ein
\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
des
\definitionsverweis {affinen Raumes}{}{}
ist. Bestimme explizit eine Umkehrabbildung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} zur Abbildung \maabbeledisp {} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} {(x+y^2,-y^4-2xy^2-x^2+y^2+x+y) } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X,Y]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über $K$ in zwei Variablen. Es sei
\mathl{P \in K[X]}{} ein Polynom in der einen Variablen $X$. Zeige, dass durch die
\definitionsverweis {Einsetzung}{}{}
\mathl{X \mapsto X}{} und
\mathl{Y \mapsto Y+ P(X)}{} ein
$K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismus}{}{}
von
\mathl{K[X,Y]}{} in sich definiert wird, der im Allgemeinen nicht linear ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} { { {\mathbb A}_{ {\mathbb C} }^{ n } } } { { {\mathbb A}_{ {\mathbb C} }^{ n } }
} {}
ein
\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
des affinen Raumes. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Jacobi-Determinante}{}{}
konstant gleich einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Betrachte
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C}^3 } { {\mathbb C}^3
} {(x,y,z) } {(x-2(xz+y^2)y-(xz+y^2)^2z,y+(xz+y^2)z,z)
} {.}
Zeige, dass $\varphi$ ein Automorphismus ist, der
\mathl{y^2 +xz}{} auf sich selbst abbildet.
}
{} {}
Wir notieren zwei Definitionen, die algebraische Versionen der Rechtsäquivalenz sind.
Zwei Polynome
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F,G
}
{ \in} { K[X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißen
\definitionswort {algebraisch rechtsäquivalent}{,}
wenn es einen polynomialen Automorphismus
\maabbdisp {\varphi} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{ G \circ \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt einer
\definitionsverweis {Varietät}{}{}
und
\maabbdisp {f_1,f_2} {U} { K
} {}
\definitionsverweis {rationale Funktionen}{}{}
auf $V$, die in einer offenen Umgebung $U$ von $P$ definiert seien. Man sagt, dass
\mathkor {} {f_1} {zu} {f_2} {}
\definitionswort {rational rechtsäquivalent}{}
ist, wenn es offene Mengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{V_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{V_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einen
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V_1} {V_2
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_1
}
{ =} { \varphi \circ f_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ \sum_{i = 1}^n a_i X_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein lineares Polynom $\neq 0$. Zeige, dass $X_1$ und $P$ zueinander
\definitionsverweis {algebraisch rechtsäquivalent}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $P$ ein Polynom in den Variablen
\mathl{X_2 , \ldots , X_n}{.} Zeige, dass $X_1$ und $X_1- P$ zueinander
\definitionsverweis {algebraisch rechtsäquivalent}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das Polynom
\mathl{X^n-Y^2}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
nicht
\definitionsverweis {algebraisch rechtsäquivalent}{}{}
zur Variablen $X$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die beiden Polynome \mathkor {} {X} {und} {X(X+1)} {} nicht zueinander \definitionsverweis {rational rechtsäquivalent}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das Polynom
\mathl{X^3+Y^3-1}{} nicht
\definitionsverweis {rational rechtsäquivalent}{}{}
zur Variablen $X$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das Polynom
\mathl{X^3-Y^2}{} nicht
\definitionsverweis {rational rechtsäquivalent}{}{}
zur Variablen $X$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{K (X_1 , \ldots , X_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{.}
Zeige, dass $F$ genau dann
\definitionsverweis {rational rechtsäquivalent}{}{}
zur Variablen $X$ ist, wenn es rationale Funktionen
\mathl{F_2 , \ldots , F_n}{} derart gibt, dass die Körpergleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K (F , F_2 , \ldots , F_n)
}
{ =} { K (X_1 , \ldots , X_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
Die folgende Definition orientiert sich an den Nullstellenmengen, nicht an den Funktionen selbst.
Zwei
\definitionsverweis {affin-algebraische Mengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V, \tilde{V}
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißen \definitionswort {affin-algebraisch äquivalent}{,} wenn es einen
\definitionsverweis {Automorphismus des affinen Raumes}{}{}
\maabb {\varphi} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1}(V)
}
{ =} {\tilde{V}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
Die folgende Aussage ist analog zu
Lemma 26.3.
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V , \tilde{V}
}
{ \subset} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
zueinander
\definitionsverweis {affin-algebraisch äquivalente}{}{}
\definitionsverweis {affin-algebraische Mengen}{}{}
mit den
\definitionsverweis {Verschwindungsidealen}{}{}
\mathkor {} {\operatorname{Id} \,(V)} {und} {\operatorname{Id} \,(\tilde{V} )} {.}
Zeige, dass dann die
\definitionsverweis {Restklassenringe}{}{}
\mathkor {} {K[X_1 , \ldots , X_n] / \operatorname{Id} \,(V)} {und} {K[X_1 , \ldots , X_n] / \operatorname{Id} \,(\tilde{V} )} {}
zueinander
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
In den folgenden Aufgaben wird verwendet, dass man eine Gleichung in den Variablen
\mathl{x,y,z}{} birational trasformieren kann, indem man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ x' z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{y' z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzt und die Gleichung in den neuen Variablen
\mathl{x',y',z}{} schreibt. Damit kann man zeigen, dass die ADE-Singularitäten birational zur affinen Ebene sind, dass also ihre Funktionenkörper gleich
\mathl{K(u,v)}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die $D_k$-Singularitäten
\mathl{Z^2+X^2Y+Y^{k-1}}{}
\zusatzklammer {
\mathl{k \geq 4}{}} {} {}
birational zu
\mathl{Z^2+X^2Y+Y^{k-3}}{} sind
\zusatzklammer {die bei $k \geq 6$ wieder Diedersingularitäten sind} {} {.}
Zeige, dass
\mathl{Z^2+X^2Y+Y^{1}}{} birational zur affinen Ebene ist und dass
\mathl{Z^2+X^2Y+Y^{2}}{} birational zu
\mathl{Z^2+XY+Y^2}{} und damit ebenfalls birational zur affinen Ebene ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die $E_6$-Singularität
\mathl{X^2+Y^3+Z^4}{} birational zu
\mathl{X^2+Y^3Z+Z^2}{,} zu
\mathl{X^2+YZ+Z^2}{,} zur $A1$-Singularität und damit zur affinen Ebene ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die $E_7$-Singularität
\mathl{Z^2+X^3+XY^3}{} birational zu
\mathl{Z^2+X^3Y+XY^2}{,} zu
\mathl{Z^2+X^2Y +XY^2}{,} zu
\mathl{Z^2+XY +XY^2}{} und zu $Z^2+Y+XY^2$ ist, und damit auch birational zur affinen Ebene ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die $E_8$-Singularität
\mathl{X^2+Y^3+Z^5}{} birational zu
\mathl{X^2+Y^3Z+Z^3}{,} zu
\mathl{X^2+Y^2Z+YZ^3}{,} zu
\mathl{X^2+Y^2Z +YZ^2}{} und zu
\mathl{X^2+YZ +YZ^2}{} ist, und damit auch birational zur affinen Ebene ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die rationalen Funktionen
\zusatzklammer {in den zwei Variablen
\mathkor {} {U} {und} {V} {}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { { \frac{ -U^{15} }{ (1+V)^7V^3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} { { \frac{ -U^{10} }{ (1+V)^5 V^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { { \frac{ -U^{6} }{ (1+V)^3 V } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Relation
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P^2 +Q^3 + R^5
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass die Singularität
\mathl{X^2+Y^3+Z^6}{} birational zu
\mathl{X^2+Y^3Z+Z^4}{} und zu
\mathl{X^2+Y^3Z^2+Z^2}{} ist.
} {Zeige, dass der Quotientenkörper von
\mathl{K[X,Y,Z] / { \left( X^2+Y^3Z^2+Z^2 \right) }}{} isomorph zu
\mathl{{ \left( K[U,Y]/ { \left( U^2+Y^3+1 \right) } \right) } (Z)}{} ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Rechtsäquivalenz}{}{} zwischen \definitionsverweis {holomorphen Funktionen}{}{} in der Tat eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\maabb {f,g} {U} { {\mathbb C}
} {}
\definitionsverweis {holomorphe Funktionen}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ = }{g(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathkor {} {f} {und} {g} {}
genau dann
\definitionsverweis {rechtsäquivalent}{}{}
sind, wenn ihre Nullstellenordnung im Nullpunkt übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die zweidimensionalen ADE-Singularitäten nicht untereinander \definitionsverweis {rechtsäquivalent}{}{} sind.
}
{} {Bei einem Großteil kann man mit der Milnorzahl argumentieren, ansonsten verwende man die lokale Fundamentalgruppe.}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\maabb {g_1} {V} { {\mathbb C}
} {}
und
\maabb {g_2} {V'} { {\mathbb C}
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{V,V'
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\definitionsverweis {holomorphe Funktionen}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g_1,g_2
}
{ \in }{ {\mathfrak m}^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in den Variablen
\mathl{y_1 , \ldots , y_n}{} bzw.
\mathl{w_1 , \ldots , w_n}{} Es sei
\maabbdisp {\varphi} {U \times V} { W
} {}
eine
\definitionsverweis {biholomorphe Abbildung}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^{k+n}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offen und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1^2 + \cdots + x_k^2 + g_1
}
{ =} { { \left( z_1^2 + \cdots + z_k^2 + g_2 \right) } \circ \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann die
$k \times k$-\definitionsverweis {Untermatrix}{}{}
\mathl{{ \left( \partial_{x_i} \varphi_j \right) } _{1 \leq i,j \leq k}}{} der
\definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
zu $\varphi$ im Nullpunkt
\definitionsverweis {invertierbar}{}{}
ist.
}
{} {}