Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 26

Wir besprechen zuerst algebraische Automorphismen des affinen Raumes und Äquivalenzkonzepte für polynomiale Funktionen und Varietäten. Diese sind sehr viel starrer als die entsprechenden holomorphen Konzepte.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine bijektive polynomiale Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},$

deren Umkehrabbildung nicht polynomial ist.

Aufgabe

Zeige, dass ein ${}K$- Algebraautomorphismus

$\varphi \colon K[X]\longrightarrow K[X]$

durch ${}X\mapsto aX+b$ mit ${}a\neq 0$ gegeben ist (also durch eine affin-lineare Variablentransformation).

Aufgabe

Es sei ${}F\in K[X]$ ein Polynom. Zeige, dass die Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,(x,y)\longmapsto (x,y+F(x)),$

ein Automorphismus des affinen Raumes ist. Bestimme explizit eine Umkehrabbildung.

Aufgabe

Bestimme die Umkehrabbildung zur Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y^{2},-y^{4}-2xy^{2}-x^{2}+y^{2}+x+y).$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X,Y]$ der Polynomring über ${}K$ in zwei Variablen. Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom in der einen Variablen ${}X$. Zeige, dass durch die Einsetzung ${}X\mapsto X$ und ${}Y\mapsto Y+P(X)$ ein ${}K$- Algebraautomorphismus von ${}K[X,Y]$ in sich definiert wird, der im Allgemeinen nicht linear ist.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{n}}$

ein Automorphismus des affinen Raumes. Zeige, dass die Jacobi-Determinante konstant gleich einem ${}c\neq 0$ ist.

Aufgabe *

Betrachte

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (x-2(xz+y^{2})y-(xz+y^{2})^{2}z,y+(xz+y^{2})z,z).$

Zeige, dass ${}\varphi$ ein Automorphismus ist, der ${}y^{2}+xz$ auf sich selbst abbildet.

Wir notieren zwei Definitionen, die algebraische Versionen der Rechtsäquivalenz sind.

Zwei Polynome

${}F,G\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$

heißen algebraisch rechtsäquivalent, wenn es einen polynomialen Automorphismus

$\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$

mit ${}F=G\circ \varphi$ gibt.

Es sei ${}P\in U\subseteq V$ ein Punkt einer Varietät und

$f_{1},f_{2}\colon U\longrightarrow K$

rationale Funktionen auf ${}V$, die in einer offenen Umgebung ${}U$ von ${}P$ definiert seien. Man sagt, dass ${}f_{1}$ zu ${}f_{2}$ rational rechtsäquivalent ist, wenn es offene Mengen ${}P\in V_{1}$ und ${}P\in V_{2}$ und einen Isomorphismus

$\varphi \colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$

mit

${}f_{1}=\varphi \circ f_{2}\,$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}P=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}$ ein lineares Polynom ${}\neq 0$. Zeige, dass ${}X_{1}$ und ${}P$ zueinander algebraisch rechtsäquivalent sind.

Aufgabe

Es sei ${}P$ ein Polynom in den Variablen ${}X_{2},\ldots ,X_{n}$. Zeige, dass ${}X_{1}$ und ${}X_{1}-P$ zueinander algebraisch rechtsäquivalent sind.

Aufgabe

Zeige, dass das Polynom ${}X^{n}-Y^{2}$, ${}n\geq 2$, nicht algebraisch rechtsäquivalent zur Variablen ${}X$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass die beiden Polynome ${}X$ und ${}X(X+1)$ nicht zueinander rational rechtsäquivalent sind.

Aufgabe

Zeige, dass das Polynom ${}X^{3}+Y^{3}-1$ nicht rational rechtsäquivalent zur Variablen ${}X$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass das Polynom ${}X^{3}-Y^{2}$ nicht rational rechtsäquivalent zur Variablen ${}X$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}F\in K(X_{1},\ldots ,X_{n})$ eine rationale Funktion. Zeige, dass ${}F$ genau dann rational rechtsäquivalent zur Variablen ${}X$ ist, wenn es rationale Funktionen ${}F_{2},\ldots ,F_{n}$ derart gibt, dass die Körpergleichheit

${}K(F,F_{2},\ldots ,F_{n})=K(X_{1},\ldots ,X_{n})\,$

gilt.

Die folgende Definition orientiert sich an den Nullstellenmengen, nicht an den Funktionen selbst.

Zwei affin-algebraische Mengen ${}V,{\tilde {V}}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ heißen affin-algebraisch äquivalent, wenn es einen Automorphismus des affinen Raumes ${}\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ mit

${}\varphi ^{-1}(V)={\tilde {V}}\,$

gibt.

Die folgende Aussage ist analog zu Lemma 26.3.

Aufgabe

Es seien

${}V,{\tilde {V}}\subset {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,$

zueinander affin-algebraisch äquivalente affin-algebraische Mengen mit den Verschwindungsidealen ${}\operatorname {Id} \,(V)$ und ${}\operatorname {Id} \,({\tilde {V}})$. Zeige, dass dann die Restklassenringe ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,(V)$ und ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,({\tilde {V}})$ zueinander isomorph sind.

In den folgenden Aufgaben wird verwendet, dass man eine Gleichung in den Variablen ${}x,y,z$ birational trasformieren kann, indem man ${}x=x'z$ und ${}y=y'z$ setzt und die Gleichung in den neuen Variablen ${}x',y',z$ schreibt. Damit kann man zeigen, dass die ADE-Singularitäten birational zur affinen Ebene sind, dass also ihre Funktionenkörper gleich ${}K(u,v)$.

Aufgabe

Zeige, dass die ${}D_{k}$-Singularitäten ${}Z^{2}+X^{2}Y+Y^{k-1}$ (${}k\geq 4$) birational zu ${}Z^{2}+X^{2}Y+Y^{k-3}$ sind (die bei ${}k\geq 6$ wieder Diedersingularitäten sind). Zeige, dass ${}Z^{2}+X^{2}Y+Y^{1}$ birational zur affinen Ebene ist und dass ${}Z^{2}+X^{2}Y+Y^{2}$ birational zu ${}Z^{2}+XY+Y^{2}$ und damit ebenfalls birational zur affinen Ebene ist.

Aufgabe

Zeige, dass die ${}E_{6}$-Singularität ${}X^{2}+Y^{3}+Z^{4}$ birational zu ${}X^{2}+Y^{3}Z+Z^{2}$, zu ${}X^{2}+YZ+Z^{2}$, zur ${}A1$-Singularität und damit zur affinen Ebene ist.

Aufgabe

Zeige, dass die ${}E_{7}$-Singularität ${}Z^{2}+X^{3}+XY^{3}$ birational zu ${}Z^{2}+X^{3}Y+XY^{2}$, zu ${}Z^{2}+X^{2}Y+XY^{2}$, zu ${}Z^{2}+XY+XY^{2}$ und zu ${}Z^{2}+Y+XY^{2}$ ist, und damit auch birational zur affinen Ebene ist.

Aufgabe

Zeige, dass die ${}E_{8}$-Singularität ${}X^{2}+Y^{3}+Z^{5}$ birational zu ${}X^{2}+Y^{3}Z+Z^{3}$, zu ${}X^{2}+Y^{2}Z+YZ^{3}$, zu ${}X^{2}+Y^{2}Z+YZ^{2}$ und zu ${}X^{2}+YZ+YZ^{2}$ ist, und damit auch birational zur affinen Ebene ist.

Aufgabe *

Zeige, dass die rationalen Funktionen (in den zwei Variablen ${}U$ und ${}V$)

${}P={\frac {-U^{15}}{(1+V)^{7}V^{3}}}\,,$

${}Q={\frac {-U^{10}}{(1+V)^{5}V^{2}}}\,$

und

${}R={\frac {-U^{6}}{(1+V)^{3}V}}\,$

die Relation

${}P^{2}+Q^{3}+R^{5}=0\,$

erfüllen.

Aufgabe

1. Zeige, dass die Singularität ${}X^{2}+Y^{3}+Z^{6}$ birational zu ${}X^{2}+Y^{3}Z+Z^{4}$ und zu ${}X^{2}+Y^{3}Z^{2}+Z^{2}$ ist.
2. Zeige, dass der Quotientenkörper von ${}K[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}Z^{2}+Z^{2}\right)}$ isomorph zu ${}{\left(K[U,Y]/{\left(U^{2}+Y^{3}+1\right)}\right)}(Z)$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Rechtsäquivalenz zwischen holomorphen Funktionen in der Tat eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe

Es seien ${}f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen mit ${}0\in U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und mit ${}f(0)=g(0)=0$. Zeige, dass ${}f$ und ${}g$ genau dann rechtsäquivalent sind, wenn ihre Nullstellenordnung im Nullpunkt übereinstimmt.

Aufgabe

Zeige, dass die zweidimensionalen ADE-Singularitäten nicht untereinander rechtsäquivalent sind.

Bei einem Großteil kann man mit der Milnorzahl argumentieren, ansonsten verwende man die lokale Fundamentalgruppe.

Aufgabe *

Es seien ${}g_{1}\colon V\rightarrow {\mathbb {C} }$ und ${}g_{2}\colon V'\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit ${}0\in V,V'\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, holomorphe Funktionen mit ${}g_{1},g_{2}\in {\mathfrak {m}}^{3}$ in den Variablen ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ bzw. ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ Es sei

$\varphi \colon U\times V\longrightarrow W$

eine biholomorphe Abbildung mit ${}U\subseteq {\mathbb {C} }^{k}$ und ${}W\subseteq {\mathbb {C} }^{k+n}$ offen und mit ${}\varphi (0)=0$ und mit

${}x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}+g_{1}={\left(z_{1}^{2}+\cdots +z_{k}^{2}+g_{2}\right)}\circ \varphi \,.$

Zeige, dass dann die ${}k\times k$- Untermatrix ${}{\left(\partial _{x_{i}}\varphi _{j}\right)}_{1\leq i,j\leq k}$ der Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$ im Nullpunkt invertierbar ist.