Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 25

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich. Zeige, dass jedes von ${}0$ verschiedene Primideal ein Primelement enthält.

Aufgabe

Zeige, dass in einem faktoriellen Bereich ${}R$ der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Elementen ${}f,g\in R$ existieren.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich und ${}a,b\in R$. Zeige, dass ${}ab$ und das Produkt aus ${}{\operatorname {KgV} \,\left(a,b\right)}$ und ${}{\operatorname {GgT} \,\left(a,b\right)}$ zueinander assoziiert sind.

Aufgabe

Es seien ${}a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in R$ Elemente in einem faktoriellen Bereich ${}R$ und ${}k\in \mathbb {N}$.

a) Zeige, dass

$\operatorname {kgV} _{}^{}{\left(a_{1}^{k},a_{2}^{k},\ldots ,a_{n}^{k}\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,{\left(\operatorname {kgV} _{}^{}{\left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)}\right)}^{k}$

zueinander assoziiert sind.

b) Zeige, dass

$\operatorname {ggT} _{}^{}{\left(a_{1}^{k},a_{2}^{k},\ldots ,a_{n}^{k}\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,{\left(\operatorname {ggT} _{}^{}{\left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)}\right)}^{k}$

zueinander assoziiert sind.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein faktorieller Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$. Zeige: Wenn ${}F,G\in R[X]$ keinen gemeinsamen Teiler besitzen, so besitzen sie aufgefasst in ${}Q(R)[X]$ ebenfalls keinen gemeinsamen Teiler.

Aufgabe

Sei ${}R$ ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$. Zeige, dass jedes Element ${}f\in K$, ${}f\neq 0$, eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung

${}f=up_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{n}^{r_{n}}\,$

mit einer Einheit ${}u\in R$ und ganzzahligen Exponenten ${}r_{i}$ besitzt.

Aufgabe

Sei ${}R$ ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$. Es sei ${}a\in K$ ein Element mit ${}a^{n}\in R$ für eine natürliche Zahl ${}n\geq 1$. Zeige, dass dann schon ${}a$ zu ${}R$ gehört.

Aufgabe

Es sei ${}R=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }R_{n}$ ein positiv-graduierter Integritätsbereich über einem Körper ${}R_{0}=K$. Zeige, dass ein homogenes Element ${}f\neq 0$ vom Grad ${}1$ irreduzibel ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ ein numerisches Monoid, das nicht isomorph zu ${}\mathbb {N}$ sei, und sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass es im Monoidring ${}K[M]$ irreduzible Elemente gibt, die nicht prim sind. Man gebe Elemente aus ${}K[M]$ mit zwei wesentlich verschiedenen Zerlegungen in irreduzible Elemente an.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$.

1. Zeige, dass

   ${}R={\left\{F\in K[X]\mid F(0)=F(1)\right\}}\,$

   ein Unterring von ${}K[X]$ ist.

2. Zeige

   ${}R={\left\{X(X-1)P+a\mid P\in K[X],\,a\in K\right\}}\,.$

3. Zeige, dass ${}R$ nicht faktoriell ist.

Aufgabe

Finde in den Koordinatenringen zu den ${}A$-Singularitäten, also in ${}K[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{n}\right)}$ zu ${}n\geq 2$, Elemente, die irreduzibel, aber nicht prim sind.

Aufgabe

Finde in den Koordinatenringen zu den ${}D$-Singularitäten, also in ${}K[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+YZ^{2}+Y^{m+1}\right)}$ zu ${}m\geq 2$, Elemente, die irreduzibel, aber nicht prim sind.

Aufgabe

Finde im Koordinatenring zur ${}E_{6}$-Singularität, also in ${}K[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{4}\right)}$, Elemente, die irreduzibel, aber nicht prim sind.

Aufgabe

Finde im Koordinatenring zur ${}E_{7}$-Singularität, also in ${}K[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+YZ^{3}\right)}$, Elemente, die irreduzibel, aber nicht prim sind.

Aufgabe

Finde in in ${}K[X,Y,Z,W]/{\left(XY-ZW\right)}$ Elemente, die irreduzibel, aber nicht prim sind.

Aufgabe

Es sei ${}R$ eine dreidimensionale endlich erzeugte ${}K$- Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper, die ein faktorieller Integritätsbereich sei. Zeige, dass für Primideale ${}{\mathfrak {p}}$ und ${}{\mathfrak {q}}$ der Höhe ${}r$ bzw. ${}s$ jedes minimale Primideal oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}+{\mathfrak {q}}$ eine Höhe ${}\leq r+s$ besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein noetherscher Integritätsbereich und seien ${}f,g\neq 0$ Nichteinheiten. Zeige, dass es einen maximalen Exponenten ${}n$ mit ${}f=g^{n}h$ gibt.

Aufgabe

Zeige, dass in einem Produktring ${}R\times S$ die Aussage aus Lemma 25.6 nicht gelten muss.

Der in der folgenden Aufgabe besprochene Ring zeigt, dass der Krullsche Hauptidealsatz, Lemma 25.5 und Lemma 25.6 für nichtnoethersche Integritätsbereiche nicht gelten muss.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und betrachte den kommutativen Ring

${}R=K[X,Y_{0},Y_{1},Y_{2},\ldots ]/{\left(Y_{0}-XY_{1},Y_{1}-XY_{2},Y_{2}-XY_{3},\ldots \right)}=K[X,Y_{n},n\in \mathbb {N} ]/{\left(Y_{i}-XY_{i+1},i\in \mathbb {N} \right)}\,.$

1. Zeige, dass ${}R$ ein Integritätsbereich ist.
2. Zeige, dass ${}X$ ein Primelement ist.
3. Zeige, dass ${}(X)$ ein maximales Ideal von ${}R$ ist.
4. Zeige, dass

   ${}{\mathfrak {p}}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\left(X^{n}\right)}={\left(Y_{j},j\in \mathbb {N} \right)}\,$

   gilt und dass dies ein Primideal ist, das nicht endlich erzeugt ist. Wie lautet der Restklassenring zu ${}{\mathfrak {p}}$?

5. Zeige, dass die Krulldimension von ${}R$ zumindest ${}2$ ist.
6. Zeige, dass ${}Y_{0}$ keine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente besitzt.

Aufgabe

Finde für die zweidimensionalen ADE-Singularitäten (gegeben durch den Ring ${}R$) Ringelemente ${}f\neq 0$ derart, dass die Nenneraufnahme ${}R_{f}$ faktoriell ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Ring ${}{\mathbb {C} }[X,Y]/{\left(X^{3}+Y^{3}+1\right)}$ regulär, aber nicht faktoriell ist.

Aufgabe

Zeige, dass es auf der ${}E_{8}$-Singularität keine glatte Kurve gibt, die durch den singulären Punkt läuft.

Aufgabe

Zeige, dass

${}X^{3}+Y^{3}-3XY\in K[X,Y]\subseteq K[X,Y]_{(X,Y)}\,$

ein Primelement ist, aber nicht im Ring ${}{\mathcal {O}}_{2}$ der holomorphen Funktionen in zwei Variablen. Wie lautet dort die Faktorzerlegung?